Почему не отображают множество комплексных чисел на прямую?

[Skipper]

Цитата:

Два числа не могут быть "бесконечно близки": они или равны, или не равны.
Числа 2.(9) и 3.0 равны.

А у меня после отображения комплексных на прямую, числа
$2,(92)$ и $3,(02)$ РАВНЫ. Для равенства не обязательно совпадение всех разрядов. Ну такое множество получается. Оно не обладает непрерывностью, и определить операции + - * / надо по другому.
Но речь идет о том, биективное отображение или нет. Получается биективное. Значит и множества C и R равны по мощности.

[CowboyHugges]

Skipper в сообщении #343010 писал(а):

А у меня после отображения комплексных на прямую, числа $2,(92)$ и $3,(02)$ РАВНЫ.

Это у Вас какая-то своя получается $\mathbf{R}$, как это они равны если я между ними могу 3 впихнуть. Или Ваша $\mathbf{R}$ не упорядоченное множество?

Skipper в сообщении #343010 писал(а):

Оно не обладает непрерывностью, и определить операции + - * / надо по другому.

Если Вы "по-другому" операции определяете, то это уже не вещественные числа, а какая-то кракозябра.

ЗЫ: Уже несколько раз в этом разделе вижу загадочный термин "непрерывное множество", может кто-нибудь дать определение, пожалуйста.

[Skipper]

Цитата:

Или Ваша $\mathbf{R}$ не упорядоченное множество?

Ну да, получается не упорядоченное. Но это все таки R! Потому что "мое R" описывается точно так же как и "настоящее R". А то, что "мое R" НЕ является полем (по другому определены операции сравнения), так это понятно...

Цитата:

Уже несколько раз в этом разделе вижу загадочный термин "непрерывное множество"

Вот-вот. Я и сам хочу чтобы дали определение те, кто его начал употреблять. Я только интуитивно представляю это, поэтому определение дать не могу (пока)

[ewert]

Skipper в сообщении #343444 писал(а):

Я и сам хочу чтобы дали определение те, кто его начал употреблять.

Ники в студию.

[Chipa]

Вставлю свои пять копеек. Я считаю, вопрос "возможно ли такое отображение, и если да, то какие свойства имеет" интересен сам по себе, но находится несколько в стороне от темы.

Попытаюсь ответить непосредственно на заданный вопрос.
В математике используются большей частью те инструменты и преобразования, которые удобны, что-то дают, облегчают работу. Они составляют крошечную часть от того, что в принципе можно придумать. Ну например:
1)Почему не используется (возможно, мои знания меня подводят и таки используется, но уж точно не часто), например,
конструкция вида $f(z) = x+iy+jz+...$ с кучей "мнимых осей"? А ведь в принципе можно ввести.
2)Почему не применяется 32-ичная система счисления (а что, как раз 10 цифр и 26 букв хватает с запасом)? Или система счисления с основанием -10?
3)Почему вообще не принять за единицу число $\pi$?

Да потому, что толку с этого... не буду говорить ноль (слишком нескромно), но точно немного. Поэтому даже если есть "хорошее" отображение множества комплексных чисел на прямую, это не причина его использовать. Плоскость - общепринята, наглядна, удобна. А "комплексная прямая" - нет. Вот уже причина не использовать. Даже если там все хорошо отображается (в чем сомневаюсь).

[Time]

Chipa в сообщении #428950 писал(а):

Вставлю свои пять копеек.

Ну, и я вставлю свои три...

Chipa в сообщении #428950 писал(а):

Попытаюсь ответить непосредственно на заданный вопрос.
В математике используются большей частью те инструменты и преобразования, которые удобны, что-то дают, облегчают работу. Они составляют крошечную часть от того, что в принципе можно придумать. Ну например:
1)Почему не используется (возможно, мои знания меня подводят и таки используется, но уж точно не часто), например, конструкция вида $f(z)=x+iy+jz+...$
с кучей "мнимых осей"? А ведь в принципе можно ввести.

Используется и еще как. Самый известный пример - кватернионы Гамильтона, алгебре которых соответствует геометрия точек и векторов четырехмерного евклидова пространства. Однако тут есть один существенный недостаток по сравнению с комплексными числами. В пространстве кавтернионов группа конформных преобразований всего 15-параметрическая, тогда как на комплексной плоскости - бесконечномерная, откуда и множество голоморфных функций на последних бесконечнопараметрическое, а у первых конечнопараметрическое, что не есть "гуд". Однако есть гиперкомплексные числа, отличные от комплексных, у которых группа конформных преобразований и множество голоморфных функций также бесконечные. В частности, у двойных чисел, являющихся гиперболическими аналогами комплексных и которым обычно ставят в соответствие геометрию двумерной псевдоевклидовой плоскости, то есть, двумерного пространства-времени. А это уже не пустяк, хотя бы потому, что такая алгебра на автомате содержит релятивистские свойства, обычно изучаемые в специальной теории относительности. Но есть и многомерные гиперкомплексные числа, пространства которых имеют бесконечномерную конформную группу и, думаю, некоторым из этих чисел можно поставить в соответствие геометрию многомерного пространства-времени, а от последней и до многомерной физики рукой подать.

Chipa в сообщении #428950 писал(а):

2)Почему не применяется 32-ичная система счисления (а что, как раз 10 цифр и 26 букв хватает с запасом)? Или система счисления с основанием -10?

Давно и широко применяются 2-ичная система исчисления, 8-ичная и 16-ичная. В тех же компьютерах..

Chipa в сообщении #428950 писал(а):

Поэтому даже если есть "хорошее" отображение множества комплексных чисел на прямую, это не причина его использовать. Плоскость - общепринята, наглядна, удобна. А "комплексная прямая" - нет. Вот уже причина не использовать. Даже если там все хорошо отображается (в чем сомневаюсь).

Я бы не торопился и с таким утверждением. Например, мне известно такое отображение множества комплексных чисел на прямую, которое и наглядно и достаточно удобно, а главное, позволяет на той же прямой изображать не только комплексные, но и двойные числа со всеми их особенностями. Этот способ сопоставляет комплексным и двойным числам не свободные, а так называемые, связанные вектора, то есть такие, у которых фиксировано начало и конец. Грубо говоря каждому комплексному и двойному числу на вещественной прямой можно сопоставить не по одной, а по паре точек. Причем так, что смысл модуля и аргумента каждого числа имеет не менее простой и наглядный смысл, чем в двумерном их представлении.
Вы правы только в том, что это совсем необщеупотребимое представление, более того, оно почти никому не известно, но из этого еще не следует, что оно неудобно или не приводит к определенным преимуществам. Им просто почти никто не занимался, тогда как обычным представлением позанимались миллионы..

[nestoklon]

Chipa в сообщении #428950 писал(а):

Они составляют крошечную часть от того, что в принципе можно придумать. Ну например:

Я так по другим Вашим сообщениям понимаю, что Вы не со зла, поэтому отвечу пока не набежали злые математики.
1) Почитайте про кватернионы и октонионы, хотя бы в википедии (как обычно, лучше в английской). И обратите внимание на то, какие неприятности ждут на этом пути с умножением.
3) А умножение? Как же умножение? $1\cdot1=1$, но $\pi\cdot\pi\ne\pi$!
И прочитайте наконец в учебнике про то, что такое группа, кольцо, поле.

(Оффтоп)

Не успел

Time в сообщении #429020 писал(а):

а от последней и до многомерной физики рукой подать

Скорее, до теории струн...

Time в сообщении #429020 писал(а):

Причем так, что смысл модуля и аргумента каждого числа имеет не менее простой и наглядный смысл, чем в двумерном их представлении.

А можно чуть поподробнее? А то по-моему, со сложением (не говоря уже про умножение) будут проблемы.
Ну и раз уж Вы заговорили про преобразования, что Вы в таком представлении будете делать с конформными отображениями? Преобразование Жуковского и на плоскости-то не с ходу очевидно. Вся эта область комплексного анализа становится неподъёмной. А так можно было обойтись практически одними картинками.

[arseniiv]

Time в сообщении #429020 писал(а):

Например, мне известно такое отображение множества комплексных чисел на прямую, которое и наглядно и достаточно удобно, а главное, позволяет на той же прямой изображать не только комплексные, но и двойные числа со всеми их особенностями. Этот способ сопоставляет комплексным и двойным числам не свободные, а так называемые, связанные вектора, то есть такие, у которых фиксировано начало и конец. Грубо говоря каждому комплексному и двойному числу на вещественной прямой можно сопоставить не по одной, а по паре точек.

Так ведь это уже не отображение на прямую! Это отображение на плоскость $\mathbb R^2$.

[Time]

nestoklon в сообщении #429032 писал(а):

Скорее, до теории струн...

Нет, теория струн реализуется в псевдоримановом пространстве, причем с 10 измерениями, а тут речь о финслеровом пространстве-времени и всего с 4 измерениями.

nestoklon в сообщении #429032 писал(а):

А можно чуть поподробнее? А то по-моему, со сложением (не говоря уже про умножение) будут проблемы.

Комплексные числа (а также двойные) вместо привычной формы представления можно связывать с несколько иной:
$z=|r_1|+|r_2|+2i{\sqrt|r_1r_2|}$
В этом случае такое число можно рассматривать как пару точек на вещественной прямой с координатами $-|r_1|$ и $+|r_2|$ , соответственно. Модуль такого числа оказывается равным
$|R|=|r_1|+|r_2|$
Имеет вполне логичный смысл и аргумент.
Что интересно, у всех обычных (эллиптических) комплексных чисел одна точка соответствующего им образа находится слева от нуля вещественной оси, а другая справа. А вот если точно таким же образом рассматривать геометрический образ двойных (гиперболически комплексных) чисел, то обе точки им соответствующие находятся либо справа, либо обе слева от нуля. Делителям нуля при такой интерпретации соответствуют слившиеся вместе пары точек, то есть расстояние между которыми нулевое.
Вы правы, сложение и умножение так представляемых комплексных (и двойных) чисел в геометрической интерпретации выглядит необычно, но это не более, чем дело привычки. После нескольких часов упражнений геометрические построения связанные с этими операциями становится не менее естественно выглядеть, чем их аналоги на двумерных евклидовой и псевдоевклидовой плоскостях.

nestoklon в сообщении #429032 писал(а):

Ну и раз уж Вы заговорили про преобразования, что Вы в таком представлении будете делать с конформными отображениями? Преобразование Жуковского и на плоскости-то не с ходу очевидно. Вся эта область комплексного анализа становится неподъёмной. А так можно было обойтись практически одними картинками.

Честно говоря не думал, но возможно (это нужно проверять) конформным преобразованиям соответствуют нелинейные деформации вещественной прямой, то есть вместо линейной шкалы на ней появляется сложная нелинейная. Но я в этом не уверен, так как хоть и занимался такой формой представлений но не шибко глубоко и до трактовки нелинейных преобразований не доходил. При случае можно повозиться..

-- Чт мар 31, 2011 01:11:15 --

arseniiv в сообщении #429249 писал(а):

Так ведь это уже не отображение на прямую! Это отображение на плоскость

См. чуть выше.

[Someone]

Time в сообщении #429354 писал(а):

arseniiv в сообщении #429249 писал(а):

Так ведь это уже не отображение на прямую! Это отображение на плоскость

См. чуть выше.

Фигушки, я плотоядная! (© Корова в известном мультфильме.)
Отображение в прямую - это когда каждому элементу в исходном множестве ставится в соответствие одно действительное число. А когда их два - это отображение в плоскость.

[Time]

Someone в сообщении #429359 писал(а):

Отображение в прямую - это когда каждому элементу в исходном множестве ставится в соответствие одно действительное число. А когда их два - это отображение в плоскость.

Ага, понимаю.. То есть, сопоставление каждому комплексному числу отрезка на одной прямой с фиксированными координатами начал и концов по описанному выше правилу, называется отображением в плоскость. И где эта плоскость по отношению к рассматриваемой прямой проходит?
К тому же, может лучше обсудить свойства и последствия предлагаемой геометрической интерпретации, а не то, как ее формально называть?

[nestoklon]

Time в сообщении #429354 писал(а):

Комплексные числа (а также двойные) вместо привычной формы представления можно связывать с несколько иной:
$z=|r_1|+|r_2|+2i{\sqrt|r_1r_2|}$

Это как, простите? В этой формуле я вижу только первый квадрант (или как оно там называется). Не говоря уже о том, что тут что-то с чем-то явно склеивается.

Time в сообщении #429354 писал(а):

arseniiv в сообщении #429249 писал(а): писал(а):

Так ведь это уже не отображение на прямую! Это отображение на плоскость

См. чуть выше.

Я кстати согласен с арамисом коллегами. Формально -- это отображение на $\mathbb{R}^2$, хоть Вы и рисуете его на прямой.

[Time]

nestoklon в сообщении #429407 писал(а):

Это как, простите? В этой формуле я вижу только первый квадрант (или как оно там называется). Не говоря уже о том, что тут что-то с чем-то явно склеивается.

А Вы попробуйте забыть об общепринятом изображении комплексного числа в виде точки или вектора на плоскости и вместо этого постарайтесь увидеть в соответствии с предложенным правилом две точки на прямой и отрезок между ними. Я понимаю, что сложно переключиться с привычной интерпретации, но попробовать то можно? На прямой нет никаких квадрантов. Есть только два луча: отрицательная и положительная половинки прямой. На счет "что-то с чем-то явно не склеивается" - можно указать конкретно, что и с чем не склеивается?

На счет формальности отображения на плоскость можно и согласиться. Главное, скольки мерные объекты ставятся в соответствие комплексным числам. Всю жизнь считал отрезки на прямой фактически, а не формально одномерными. Кстати, не дадите ли ссылку на источники, в которых отрезки на прямой с фиксированными концами принято считать двумерными объектами?

[nestoklon]

Time в сообщении #429452 писал(а):

А Вы попробуйте забыть об общепринятом изображении комплексного числа в виде точки или вектора на плоскости и вместо этого постарайтесь увидеть в соответствии с предложенным правилом две точки на прямой и отрезок между ними.

Продемонстрируйте пожалуйста картинку (можно схематично) с числами $1$,$-1$,$i$,$-i$. В соответствии с Вашей формулой, второе и четвёртое числа не отображаются вообще, а первое и третье определяют множества разных отрезков.

Time в сообщении #429452 писал(а):

Кстати, не дадите ли ссылку на источники, в которых отрезки на прямой с фиксированными концами принято считать двумерными объектами?

Вы путаете. Это математика, а не физика. Тут нет никаких объектов. Отрезки -- это пары чисел. То есть $\mathbb{R}^2$. Точка.
В вашей логике функция наверное двумерный объект? Потому, что её можно нарисовать на плоскости?

[Someone]

Time в сообщении #429372 писал(а):

Someone в сообщении #429359 писал(а):

Отображение в прямую - это когда каждому элементу в исходном множестве ставится в соответствие одно действительное число. А когда их два - это отображение в плоскость.

Ага, понимаю.. То есть, сопоставление каждому комплексному числу отрезка на одной прямой с фиксированными координатами начал и концов по описанному выше правилу, называется отображением в плоскость.

Видите ли, Вы здесь всё подряд путаете. Отрезок числовой прямой $[a,b]$ ($a<b$), рассматриваемый как множество точек $x\in\mathbb R$, удовлетворяющих условию $a\leqslant x\leqslant b$, есть, безусловно, одномерное пространство, как и числовая прямая с естественной для неё интервальной топологией. С этим никто не спорит. Однако Вы рассматриваете отрезок как упорядоченную пару действительных чисел $a,b$, а такая пара - это элемент пространства $\mathbb R^2$ - арифметической плоскости. Снабжённое естественной топологией произведения, это пространство топологически двумерно. Снабжённое естественной алгебраической структурой линейного пространства, это пространство алгебраически двумерно. И, поскольку Вы комплексному числу так или иначе ставите в соответствие упорядоченную пару действительных чисел, у Вас получается отображение в $\mathbb R^2$, а не в $\mathbb R$. И не имеет ни малейшего значения, что, где и как Вы при этом рисуете (это рисование может быть невероятно полезным, но не имеет отношения к вопросу о том, куда у нас отображаются комплексные числа).

Time в сообщении #429372 писал(а):

И где эта плоскость по отношению к рассматриваемой прямой проходит?

??? Если Вы сумеете сформулировать осмысленный вопрос, я постараюсь на него ответить (при условии, конечно, что я разбираюсь в том, о чём Вы спросите).

Time в сообщении #429372 писал(а):

К тому же, может лучше обсудить свойства и последствия предлагаемой геометрической интерпретации, а не то, как ее формально называть?

Видите ли, пока обсуждать нечего, поскольку Вы эту интерпретацию толком не определили.

Time в сообщении #429354 писал(а):

Комплексные числа (а также двойные) вместо привычной формы представления можно связывать с несколько иной:
$z=|r_1|+|r_2|+2i{\sqrt|r_1r_2|}$
В этом случае такое число можно рассматривать как пару точек на вещественной прямой с координатами $-|r_1|$ и $+|r_2|$ , соответственно. Модуль такого числа оказывается равным
$|R|=|r_1|+|r_2|$
Имеет вполне логичный смысл и аргумент.
Что интересно, у всех обычных (эллиптических) комплексных чисел одна точка соответствующего им образа находится слева от нуля вещественной оси, а другая справа. А вот если точно таким же образом рассматривать геометрический образ двойных (гиперболически комплексных) чисел, то обе точки им соответствующие находятся либо справа, либо обе слева от нуля. Делителям нуля при такой интерпретации соответствуют слившиеся вместе пары точек, то есть расстояние между которыми нулевое.

Здесь ничего непонятно.

(для Time)

Во-первых, формула набрана с явной ошибкой (возможно, есть ещё и не очевидные). Хорошо, что в данном случае по косвенным признакам можно сделать вывод, что вместо $\sqrt|r_1r_2|$ должно быть $\sqrt{|r_1r_2|}$, но в другом случае таких "подстраховывающих" признаков может не оказаться. Вы уже давно на форуме, и до сих пор не соизволили потратить несколько минут и разобраться, как правильно набирать простейшие формулы. Хотя здесь всего лишь нужно окружить подкоренное выражение фигурными скобками (и так же следует поступать в других случаях, когда нужно объединить несколько символов в одну группу).
Во-вторых, уже беглого взгляда достаточно, чтобы увидеть, что вовсе не все комплексные числа допускают такое представление, а те, которые допускают, как правило, имеют больше одного представления, поэтому взаимно однозначного соответствия между комплексными числами и "отрезками" не получается. Чрезвычайно странным выглядит утверждение, что модуль комплексного числа равен модулю его действительной части.
В-третьих, далее речь идёт каких-то отличиях аналогичного представления двойных чисел, но из написанной формулы никаких выводов об отличии сделать нельзя, напротив, формула заставляет думать, что отличий не будет.
Таким образом, вместо аккуратного ответа на вопрос Вы ограничились невнятной и крайне небрежной отпиской. Это заставляет думать, что Вы нас всех здесь не уважаете. Вы полагаете, что это - наилучший способ пропаганды финслеровой геометрии, которой Вы здесь в основном и занимаетесь?

Time в сообщении #429452 писал(а):

На счет формальности отображения на плоскость можно и согласиться. Главное, скольки мерные объекты ставятся в соответствие комплексным числам. Всю жизнь считал отрезки на прямой фактически, а не формально одномерными. Кстати, не дадите ли ссылку на источники, в которых отрезки на прямой с фиксированными концами принято считать двумерными объектами?

Ещё раз: Вы путаете объект, который Вы сопоставляете комплексному числу, с тем множеством, которое образуют все такие объекты. Речь идёт не о структуре отрезка, а о структуре множества отрезков. Отрезок числовой прямой - это упорядоченная пара чисел, то есть, элемент множества $\mathbb R^2$. Множество всех отрезков - это некоторая часть $\mathbb R^2$. Двумерная. Постарайтесь научиться отличать одно от другого, то есть, отрезки от того множества, элементами которого они являются. Множество комплексных чисел у Вас отображается не в отрезок и не в числовую прямую, а в множество отрезков.