Уравнение 16_ой степени.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #342733 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):

Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

GAP с RadiRoot такое умеет делать: post74314.html#p74314
Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

За ссылки спасибо конечно, но во первых у меня ничего такого сложно-навороченного нет. Во вторых в post74314 программно получается жутко сложный ответ, про что и пишет Руст. В ручную у него вышло много проще. Тем более что у «них» и уравнение то пятой степени,
а «мое» шестнадцатой. А тригонометрическое решение мне известно.

[maxal]

arqady в сообщении #342747 писал(а):

maxal в сообщении #342733 писал(а):

Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

Вот это подарок! Спасибо! Только мне представляется это уравнение таким алгоритмом практически не осилить.

Уже осилил. Против лома нет приёма

-- Thu Aug 05, 2010 12:27:49 --

Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):

Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$

Аналогичным образом этот многочлен раскладывается на квадратные множители с "косинусоидальными" коэффициентами:

> alias(alpha=RootOf(cyclotomic(17,z))): simplify( subs(alpha=exp(2*Pi*I/17),factors(x^16 -x^15 - 16*x^14 +16*x^13 +103*x^12 -103*x^11 -339*x^10 +339*x^9+596*x^8-596*x^7-526*x^6+526*x^5+188*x^4-188*x^3-16*x^2+16*x+1,alpha)) );

[1, [
[-2*x*cos(7/17*Pi)-2*cos(3/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[-2*cos(7/17*Pi)-2*x*cos(5/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[2*x*cos(6/17*Pi)-2*cos(5/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[2*x*cos(8/17*Pi)-2*cos(1/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[2*cos(6/17*Pi)-2*x*cos(3/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[-2*cos(4/17*Pi)-2*cos(6/17*Pi)-2*cos(8/17*Pi)+2*cos(7/17*Pi)+2*cos(5/17*Pi)+2*cos(3/17*Pi)+2*cos(1/17*Pi)-2*cos(1/17*Pi)*x+x^2-2, 1], 
[-2*x*cos(4/17*Pi)+2*cos(4/17*Pi)-2*x*cos(6/17*Pi)-2*x*cos(8/17*Pi)+2*x*cos(7/17*Pi)+2*x*cos(5/17*Pi)+2*x*cos(3/17*Pi)+2*cos(1/17*Pi)*x+x^2-x-1, 1], 
[2*x*cos(4/17*Pi)+2*cos(8/17*Pi)+x^2-1, 1]
]]

[arqady]

Мм...дя. Ощущение не из приятных.
maxal, и долго он думал? Может, программа работала на гране возможностей компьютера...
Имеет ли смысл придумывать уравнение более высокой степени? Как Вы думаете?
Вобше-то наверняка можно придумать что-то неподъёмное для компьютера и пятой степени...

[ИСН]

65537 точно не приносите. А то будем как тот апокрифический диссертант...

[maxal]

arqady в сообщении #342802 писал(а):

Мм...дя. Ощущение не из приятных.
maxal, и долго он думал? Может, программа работала на гране возможностей компьютора...
Имеет ли смысл придумывать уравнение более высокой степени? Как Вы думаете?
Вобше-то наверняка можно придумать что-то неподъёмное для компьютора и пятой степени...

Почему "не из приятных" - по мне так очень приятно, что ручная работа может быть так эффективно алгоритмизирована.
Думал он совсем недолго - я же сначала искал подходящий знаменатель - так вот, в пределах сотни на некоторых знаменателях мапл задумывался максимум на пару секунд.
Насчёт неприподъёмного - придумайте, а я проверю...

[arqady]

ИСН в сообщении #342806 писал(а):

65537 точно не приносите. А то будем как тот апокрифический диссертант...

Разве я чем-то подобным когда-то грешил?
Но, похоже, Вы правы в том, что соревноваться с компьтером здесь бесполезно.

maxal в сообщении #342807 писал(а):

arqady в сообщении #342802 писал(а):

Мм...дя. Ощущение не из приятных.

Почему "не из приятных" - по мне так очень приятно, что ручная работа может быть так эффективно алгоритмизирована.

Мы же знаем, математику алгоритмизировать нельзя. Как-то не по-человечески получается. Ведь комрьютер вместе со всеми его прибамбасами - человеческая производная.
По-человечески, он должен как-правило утыкаться. Но, видимо, не здесь.
Вот неравенства он уж точно никогда не научится доказывать.

[maxal]

arqady в сообщении #342808 писал(а):

Мы же знаем, математику алгоритмизировать нельзя. Как-то не по-человечески получается. Ведь комрьютор вместе со всеми его прибамбасами - человеческая производная.
По-человечески, он должен как-правило утыкаться. Но, видимо, не здесь.

Вы, вероятно, также переживаете, что компьютер теперь побеждает человека в шахматах. Я - радуюсь, потому что так и должно быть.
Да, компьютер - порождение человека, которое в чем-то превосходит создателя, но куда важнее - это средство, позволяющее значительно расширить область задач, досягаемых для решения. И чем больше существует таких "автоматизируемых" задач (в решении которых компьютер опережает человека) - тем лучше.
Для человека же куда важнее знать как решить задачу в общем случае, чем получить какое-то частное решение. Поэтому давайте заведовать идейной стороной вопроса, а техническую - оставим компьютерам. И ревность тут неуместна.

arqady в сообщении #342808 писал(а):

Вот неравенства он уж точно никогда не научится доказывать.

Я думаю, что научится - дайте время. Человеку нужно чётко осознать и алгоритмизировать анализ неравенств, и затем научить этому компьютер.

Что-то подобное мы уже обсуждали, кстати: post109192.html#p109192

[Сергей Маркелов]

Vvp_57 в сообщении #342735 писал(а):

Хорошо, очень хорошо. Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения, а вот для четвертой есть. Можете ли вы разложить эти многочлены на два по четыре?

Пусть $\alpha$ есть корень уравнения $\alpha^4-4\,\alpha^3-11\,\alpha^2-4\,\alpha+1=0$.

Тогда Ваш многочлен 16-ой степени можно представить, как $\frac{1}{16}$ от произведения следующих 4 многочленов степени 4:

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( -5-5\,\alpha+{\alpha}^{2} \right) {x}^{3}+ \left( 10\,\alpha+4\,{\alpha}^{2}-{\alpha}^{3}-1 \right) {x}^{2}+ \left( -7\, \alpha-11\,{\alpha}^{2}+2\,{\alpha}^{3}+7 \right) x+2\,\alpha $$

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( 9\,{\alpha}^{2}-2\,{\alpha}^{3}+1+17\,\alpha \right) {x}^{3}+ \left( -10\,{\alpha}^{2}+2\,{\alpha}^{3}-2-12\, \alpha \right) {x}^{2}+ \left( -13\,{\alpha}^{2}+3\,{\alpha}^{3}-6-27 \,\alpha \right) x-3+6\,{\alpha}^{2}-{\alpha}^{3} $$

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( {\alpha}^{3}-5\,\alpha-5\,{\alpha}^{2} \right) {x}^ {3}+ \left( -2\,{\alpha}^{3}+12\,\alpha+10\,{\alpha}^{2}-8 \right) {x} ^{2}+ \left( 9\,{\alpha}^{2}-2\,{\alpha}^{3}+15\,\alpha+3 \right) x-24 \,\alpha-14\,{\alpha}^{2}+3\,{\alpha}^{3}+3 $$

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( {\alpha}^{3}+2-7\,\alpha-5\,{\alpha}^{2} \right) {x }^{3}+ \left( -10\,\alpha-9-4\,{\alpha}^{2}+{\alpha}^{3} \right) {x}^{ 2}+ \left( 15\,{\alpha}^{2}-6-3\,{\alpha}^{3}+19\,\alpha \right) x+8+ 22\,\alpha+8\,{\alpha}^{2}-2\,{\alpha}^{3} $$

К слову, в качестве $\alpha$ можно выбрать любой из корней вышеуказанного уравнения. Подумайте, получаются ли при этом различные разложения Вашего многочлена на 4 множителя, или же одно и то же ?

Само уравнение на $\alpha$-- не единственное возможное. Для каждого из возможных способов разложить Ваш многочлен 16ой степени на 4 многочлена 4ой степени можно подобрать аналогичный многочлен так, чтобы все коэффициенты разложения выражались через него (и не единственным способом). Но это задача непростая. Желающим знатокам предлагаю подумать, чем так хорош многочлен $\alpha^4-4\,\alpha^3-11\,\alpha^2-4\,\alpha+1=0$ и какие можно было бы использовать вместо него.

Если Вы в этой теме начинающий, рекомендую более доступное упражнение: установите количество различных способов разложения Вашего многочлена 16-ой степени на 4 многочлена 4-ой степени.

Желаю удачи!
Сергей Маркелов

[Vvp_57]

maxal в сообщении #342733 писал(а):

Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):

Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:
$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$

Аналогичным образом этот многочлен раскладывается на квадратные множители с "косинусоидальными" коэффициентами:

> alias(alpha=RootOf(cyclotomic(17,z))): simplify( subs(alpha=exp(2*Pi*I/17),factors(x^16 -x^15 - 16*x^14 +16*x^13 +103*x^12 -103*x^11 -339*x^10 +339*x^9+596*x^8-596*x^7-526*x^6+526*x^5+188*x^4-188*x^3-16*x^2+16*x+1,alpha)) );

[1, [
[-2*x*cos(7/17*Pi)-2*cos(3/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[-2*cos(7/17*Pi)-2*x*cos(5/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[2*x*cos(6/17*Pi)-2*cos(5/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[2*x*cos(8/17*Pi)-2*cos(1/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[2*cos(6/17*Pi)-2*x*cos(3/17*Pi)+x^2-1, 1], 
[-2*cos(4/17*Pi)-2*cos(6/17*Pi)-2*cos(8/17*Pi)+2*cos(7/17*Pi)+2*cos(5/17*Pi)+2*cos(3/17*Pi)+2*cos(1/17*Pi)-2*cos(1/17*Pi)*x+x^2-2, 1], 
[-2*x*cos(4/17*Pi)+2*cos(4/17*Pi)-2*x*cos(6/17*Pi)-2*x*cos(8/17*Pi)+2*x*cos(7/17*Pi)+2*x*cos(5/17*Pi)+2*x*cos(3/17*Pi)+2*cos(1/17*Pi)*x+x^2-x-1, 1], 
[2*x*cos(4/17*Pi)+2*cos(8/17*Pi)+x^2-1, 1]
]]

За разложение большое Вам спасибо. Однако это совсем еще извините не ответ. Во первых можно было просто написать:
$x^2+2\cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)x+2\cos \left(\frac{8\pi }{17} \right)-1=0$
Во вторых, после решения квадратного уравнения, подставляя нужные значения:
$2\cos \left(\frac{4\pi }{17} \right)=\frac{1}{8}\left(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
$2\cos \left(\frac{8\pi }{17} \right)=\frac{1}{8}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)\\$
Возникнет проблема упрощения выражения под корнем. Оное будет нечитабельно. Поэтому и предлагаю найти выражение пусть одного корня, от одного всем известного по Викки значения:
$\cos \left(\frac{2\pi }{17} \right)=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
Сможет ли компьютер и программы имеющиеся в Вашем распоряжении решить такую «легкую» задачку?

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #342845 писал(а):

Возникнет проблема упрощения выражения под корнем. Оное будет нечитабельно.

Будьте добры строго определить, что значит "читабельное" и что значит "нечитабельное" выражение.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #342846 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #342845 писал(а):

Возникнет проблема упрощения выражения под корнем. Оное будет нечитабельно.

Будьте добры строго определить, что значит "читабельное" и что значит "нечитабельное" выражение.

Зачем же строго, мы не на защите диплома или диссертации. Вот лучше приведу два примера. А Вы скажите, какой лучше.
Вот значение которое дает Викки:
$\cos \left(\frac{2\pi }{17} \right)=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
А вот «мое»:
$\cos \left(\frac{2\pi }{17} \right)=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\left( \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
Какое Вам больше приглянулось?

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #342850 писал(а):

Зачем же строго, мы не на защите диплома или диссертации.

Ну вы же ставите задачу. В формулировке "читабельно"/"нечитабельно" я ее не понимаю.

Vvp_57 в сообщении #342850 писал(а):

Вот значение которое дает Викки:
$\cos \left(\frac{2\pi }{17} \right)=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
А вот «мое»:
$\cos \left(\frac{2\pi }{17} \right)=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\left( \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\sqrt{34-2\sqrt{17}}-4\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
Какое Вам больше приглянулось?

По большому счёту без разницы. Разве что во втором выражении скобки под корнем не раскрыты, но это несущественно для предпочтения одного выражения другому. Оба вполне "читабельны".

[Vvp_57]

Сергей Маркелов в сообщении #342842 писал(а):

Vvp_57 в сообщении #342735 писал(а):

Хорошо, очень хорошо. Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения, а вот для четвертой есть. Можете ли вы разложить эти многочлены на два по четыре?

Пусть $\alpha$ есть корень уравнения $\alpha^4-4\,\alpha^3-11\,\alpha^2-4\,\alpha+1=0$.

Тогда Ваш многочлен 16-ой степени можно представить, как $\frac{1}{16}$ от произведения следующих 4 многочленов степени 4:

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( -5-5\,\alpha+{\alpha}^{2} \right) {x}^{3}+ \left( 10\,\alpha+4\,{\alpha}^{2}-{\alpha}^{3}-1 \right) {x}^{2}+ \left( -7\, \alpha-11\,{\alpha}^{2}+2\,{\alpha}^{3}+7 \right) x+2\,\alpha $$

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( 9\,{\alpha}^{2}-2\,{\alpha}^{3}+1+17\,\alpha \right) {x}^{3}+ \left( -10\,{\alpha}^{2}+2\,{\alpha}^{3}-2-12\, \alpha \right) {x}^{2}+ \left( -13\,{\alpha}^{2}+3\,{\alpha}^{3}-6-27 \,\alpha \right) x-3+6\,{\alpha}^{2}-{\alpha}^{3} $$

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( {\alpha}^{3}-5\,\alpha-5\,{\alpha}^{2} \right) {x}^ {3}+ \left( -2\,{\alpha}^{3}+12\,\alpha+10\,{\alpha}^{2}-8 \right) {x} ^{2}+ \left( 9\,{\alpha}^{2}-2\,{\alpha}^{3}+15\,\alpha+3 \right) x-24 \,\alpha-14\,{\alpha}^{2}+3\,{\alpha}^{3}+3 $$

$$ 2\,{x}^{4}+ \left( {\alpha}^{3}+2-7\,\alpha-5\,{\alpha}^{2} \right) {x }^{3}+ \left( -10\,\alpha-9-4\,{\alpha}^{2}+{\alpha}^{3} \right) {x}^{ 2}+ \left( 15\,{\alpha}^{2}-6-3\,{\alpha}^{3}+19\,\alpha \right) x+8+ 22\,\alpha+8\,{\alpha}^{2}-2\,{\alpha}^{3} $$

Если Вы в этой теме начинающий, рекомендую более доступное упражнение: установите количество различных способов разложения Вашего многочлена 16-ой степени на 4 многочлена 4-ой степени.

Желаю удачи!
Сергей Маркелов

Большое спасибо Сергей Маркелов. В Вашем ответе масса информации, по крайней мере для меня. Многочлены действительно работают!
Но добавить к ответу мне пока нечего. Нужно время(а его жутко не хватает), чтоб найти одну важную зацепочку. Если повезет, то попробую ответить Вам полнее. Количество всех разложений будет равно 70, однако существует только одно, в котором сложность коэффициентов минимальна.

[arqady]

(Оффтоп)

maxal в сообщении #342833 писал(а):

arqady в сообщении #342808 писал(а):

Ведь комрьютор вместе со всеми его прибамбасами - человеческая производная.

Вы, вероятно, также переживаете, что компьютер теперь побеждает человека в шахматах.

Перед тем как написать компьютор, я посмотрел в google. 57900 ссылок на компьютор и 48200000 ссылок на компьтер. Последнее число я прочитал как 48200 поэтому и написал компьютор.

[Vvp_57]

maxal в сообщении #342851 писал(а):

Ну вы же ставите задачу. В формулировке "читабельно"/"нечитабельно" я ее не понимаю.

По большому счёту без разницы. Оба вполне "читабельны".

Ладно, будь по Вашему. Прошу только озвучить чему будет равно выражение:
$r1^2-r2+1=?$
При
$r1=\frac{1}{16}\left(-1+\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)$
$r2=\frac{1}{8}\left(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \right)\\$
Мой маткад выдал такую какофонию, что рука не поднимается такое написать.
Надеюсь Вы мне поможете?