2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Уравнение 16_ой степени.
Сообщение31.07.2010, 21:55 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение02.08.2010, 23:37 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
На какую-то степень $x$ надо разделить и получится возможно что-то хорошее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение03.08.2010, 00:20 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Mathusic в сообщении #342257 писал(а):
На какую-то степень $x$ надо разделить и получится возможно что-то хорошее.

Вряд ли. Ведь это уравнение получилось после деления:
$x^{32}-x^{31}+x^{29}-x^{28}+x^{26}-x^{25}+x^{23}-^{22}+x^{20}-x^{19}+x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{13}+x^{12}-x^{10}+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1=0$
На $x^{16}$. И заменой $y=x+\frac{1}{x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение03.08.2010, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Ну так ещё раз такой же приёмчик должен пройти (наверное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение03.08.2010, 13:11 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
worm2 в сообщении #342323 писал(а):
Ну так ещё раз такой же приёмчик должен пройти (наверное).

Может быть, может быть. Нужно спросить у специалистов. Только на мой взгляд
это не пройдет. Хотя кто его знает.... :wink: Да, прошу прощения, но буду в инете
только завтра вечером.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2010, 23:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Vvp_57 в сообщении #342260 писал(а):
Ведь это уравнение получилось после деления:
$x^{32}-x^{31}+x^{29}-x^{28}+x^{26}-x^{25}+x^{23}-^{22}+x^{20}-x^{19}+x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{13}+x^{12}-x^{10}+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1=0$
На $x^{16}$. И заменой $y=x+\frac{1}{x}$

Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение04.08.2010, 19:09 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$


Тогда придеться находить корень семнадцатой степени из недействительного числа,
а как это делать, чтоб получились квадратные радикалы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение04.08.2010, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Цитата:
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Извините, я не слежу за обсуждением. Но все (комплексные) корни последнего уравнения выражаются в радикалах. В журнале Квант была статья, как Гаусс решал уравнение 17-ти угольника. (Тут правда 51-угольник).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение04.08.2010, 20:45 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
мат-ламер в сообщении #342603 писал(а):
Цитата:
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Извините, я не слежу за обсуждением. Но все (комплексные) корни последнего уравнения выражаются в радикалах. В журнале Квант была статья, как Гаусс решал уравнение 17-ти угольника. (Тут правда 51-угольник).

Так об этом и речь. Как найти корень когда 51-угольник? Ведь Гаусс
утверждает что он(корень, корни) выражаются через радикалы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 01:59 


29/06/08
53
Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):
Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:
$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$


Данный многочлен 16-ой степени можно представить как произведение двух многочленов 8-ой степени:

$$
{x}^{8}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5-3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12+5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( -
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8-2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$

и

$$
{x}^{8}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5+3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12-5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( 
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8+2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2010, 07:37 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Vvp_57 в сообщении #342598 писал(а):
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$


Тогда придеться находить корень семнадцатой степени из недействительного числа,
а как это делать, чтоб получились квадратные радикалы?

Ведь Ваше уравнение так мы решим (что Вы и просили), а радикалы - это уже философия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 16:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):
Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

GAP с RadiRoot такое умеет делать: post74314.html#p74314
Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 16:55 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Сергей Маркелов в сообщении #342652 писал(а):
Данный многочлен 16-ой степени можно представить как произведение двух многочленов 8-ой степени:
$$
{x}^{8}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5-3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12+5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( 
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8-2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$
и
$$
{x}^{8}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5+3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12-5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( 
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8+2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$


Хорошо, очень хорошо. Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения,
а вот для четвертой есть. Можете ли вы разложить эти многочлены на два по четыре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 16:57 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Vvp_57 в сообщении #342735 писал(а):
Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения

Это для произвольных многочленов. А для многочленов, корни которых выражаются в радикалах, такие алгоритмы есть (см. ссылку на RadiRoot выше).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2010, 17:30 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
maxal в сообщении #342733 писал(а):
Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

Вот это подарок! Спасибо! Только мне представляется это уравнение таким алгоритмом практически не осилить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group