"Генная инженерия" в теории чисел.

[Батороев]

Назовем остатки числа $n$ по основанию простых чисел "хромосомами" числа.

Например: $197\equiv 1\pmod 2$; $197\equiv 2\pmod 3$;$197\equiv 4\pmod 5$;$197\equiv 4\pmod 7$;$197\equiv 3\pmod {11}$;$197\equiv 10\pmod {13}$;$197\equiv 9\pmod {17}$

Если записать остатки числа $n$ по основанию последовательных простых чисел до простого $p_{i}$ с разделителем в строчку, то получим набор "хромосом" или "кариотип" числа.
$ K_{n}^{p_i} \equiv K_{197}^{17}\equiv |1|2|4|4|3|10|9|$

Очевидно, что "кариотип" составного числа имеет в своем составе нули:
$ K_{202}^{17} \equiv |0|1|2|6|4|7|15|$

"Кариотип" простого числа $p_j$ до $K_{p_j}^{p_j}$ нулей не имеет:
$ K_{23}^{17} \equiv |1|2|3|2|1|10|6|$

"Кариотип" любого простого числа до $p_j$ (кроме $K_7^3\equiv K_1^3\equiv |1|1|$) до "кариотипа" $K_{p_j}^{p_j}$ индивидуален, т.е. не повторяется ни для одного другого числа. В противном случае два простых числа имели бы одинаковые остатки по основанию примориала $(p_{j-1})\#$.

Рассматривая простые числа таким образом и используя комбинаторные методы, по-видимому, можно приблизиться к проблеме вычисления количества простых чисел в пределах до примориалов.

Такой метод рассмотрения, на мой взгляд, может иметь прикладное значение и при рассмотрении некоторых других вопросов, например:

Имеем "кариотип" числа $202=101+101$ до $p_i<\sqrt {202}$:
$ K_{202}^{17} \equiv |0|1|2|6|4|7|15|$

1) Можно подобрать такой "кариотип", чтобы он не имел ни одного нуля и не совпадал с "кариотипом" числа $202$ ни по одной из "хромосом", например:
$ K_{23}^{17} \equiv |1|2|3|2|1|10|6|$

2) Вычитая из "хромосом" числа $202$ "хромосомы" числа $23$, получим "кариотип" другого числа и этот "кариотип" не будет иметь нули:
$K_{x}^{17}\equiv |1|2|4|4|3|10|9|$, следовательно, будет принадлежать простому числу, а именно: $x=197$.

Таким образом, строго доказав тезисы 1) и 2) (на мой взгляд, они вполне очевидны), можно прийти к выводу о том, что любое число вида $n=2P$ (где $P$ - простое, большее $3$) может быть представлено в виде суммы двух других простых чисел или другими словами:
Любое простое число большее $3$ можно всегда представить в виде среднего арифметического двух других простых чисел.

-- 05 авг 2010 18:14 --

p.s. Чем больше нулей имеет "кариотип" четного числа (больше простых делителей имеет число), тем больше чисел, подпадает под п. 1), а соответственно, и под п. 2), а следовательно, количество пар простых, сумма которых равна данному четному числу, больше.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Я не знаю, насколько точно я понимаю, но как-то давно я пользовался соответствием $n \to \{ n \pmod p, p \in P\}$ для решения другой задачи. И у меня почти ничего не вышло, кроме одного неясного утверждения. Поэтому я этот метод отверг.
М.б. у Вас что-то получится, но просто говорю, что, по-моему, это бесполезная конструкция.

[Коровьев]

Батороеву
Посмотрите материалы о "Китайской теореме об остатках" . Теорема примерно III века. Ваши выводы целиком из этой теоремы.
Ничего существенного, по сравнению с Малой теоремой Ферма, она не дала. Но повозиться с остатками по модулю не зазорно. А вдруг...

[Батороев]

Уважаемые
Sonic86
Коровьев
Я не пытался выводить какие-то факты, не известные в теории чисел. Мои "выводы" - это лишь пояснение к тому, как использовать инструмент, который я предлагаю.
Удобен ли такой инструмент, я пока и сам не знаю. На первый взгляд, кажется, что некоторые перспективы его применения все же есть.
Этими перспективами я и поделился.


По-видимому, я немного погорячился в отношении расчета простых чисел, не превосходящих какой-либо примориал $(p_i)\#$, потому что после некоторых раздумий пришел к выводу, что при помощи комбинаторики можно считать лишь числа, взаимно простые с этим примориалом (что при помощи функции Эйлера считается намного легче). А вот в отношении утверждения, выделенного жирным шрифтом, пока скепсис не появился... но может и это "пока", т.к. не ясно, можно ли строго доказать тезисы 1) и 2)?
Единственное, п.1 необходимо было бы подправить:
1) Можно подобрать такое число, меньшее числа $202$, что его "кариотип" не имел бы... и далее по тексту.

[Коровьев]

Китайская теорема об остатках.

Цитата:

Если натуральные числа $P_1, P_2,...,P_n$ попарно взаимно просты, то для любых натуральных $r_1, r_2,...,r_n$ таких, что
$0 \le r_i < P_i $ при всех $i=1,2,...,n$ найдётся одно и только одно натуральное число $N < \prod\limits_{i = 1}^n {P_i } $, которое при делении на $P_i$ даёт остаток равный $r_i$ при всех $i=1,2,...,n$

На новоязе.
Для любого "кариотипа" существует одно и только одно натуральное число $N<P_n\#$
Отсюда следует, что для любого "кариотипа" существует натуральное число с "кариотипом" с не совпадающими "хромосомами" с "хромосомами" заданного"кариотипа".
Число с "кариотипом" содержащим одну или более нулевых "хромосом" не простое число.
Разность двух чисел с одной или более совпадающих хромосом не простое число.
И т.д.
Но это всё было известно ещё в III веке, правда, на своём новоязе.
Замечу, что существует формула, по которой по заданным "хромосомам" некоего "кариотипа" можно найти все числа с заданным "кариотипом". Формула вовсю использует МТФ и доступна для вывода продвинутым школьникам

[Батороев]

Коровьев в сообщении #342837 писал(а):

Замечу, что существует формула, по которой по заданным "хромосомам" некоего "кариотипа" можно найти все числа с заданным "кариотипом". Формула вовсю использует МТФ и доступна для вывода продвинутым школьникам

Тогда было бы интересно узнать, бесконечны ли числа, имеющие "кариотип" $K_{n}^{p_j}$ (где $p_j$ - наибольшее простое число, не превосходящее $\sqrt n$), начинающийся на $|1|1|...$ и не имеющий ни одной "хромосомы" $0$ или $2$?

-- 06 авг 2010 12:03 --

Коровьев в сообщении #342837 писал(а):

Для любого "кариотипа" существует одно и только одно натуральное число $N<P_n\#$

"Кариотипы" составных чисел не могут повторяться?

[Батороев]

Батороев в сообщении #342854 писал(а):

"Кариотипы" составных чисел не могут повторяться?

Понял, что не могут.

[sceptic]

Батороев в сообщении #342701 писал(а):

Назовем остатки числа $n$ по основанию простых чисел "хромосомами" числа.

Например: $197\equiv 1\pmod 2$; $197\equiv 2\pmod 3$;$197\equiv 4\pmod 5$;$197\equiv 4\pmod 7$;$197\equiv 3\pmod {11}$;$197\equiv 10\pmod {13}$;$197\equiv 9\pmod {17}$

Если записать остатки числа $n$ по основанию последовательных простых чисел до простого $p_{i}$ с разделителем в строчку, то получим набор "хромосом" или "кариотип" числа.
$ K_{n}^{p_i} \equiv K_{197}^{17}\equiv |1|2|4|4|3|10|9|$

Кариотип у числа один, или их может быть несколько? Если он один, как определяется $p_{i}$? Можно ли понимать, что $p_{i}$ есть наибольшее простое, не превосходящее $\sqrt {n}$? Или же оно есть наибольшее простое$p_{i}<n$?

Батороев в сообщении #342701 писал(а):

Рассматривая простые числа таким образом и используя комбинаторные методы, по-видимому, можно приблизиться к проблеме вычисления количества простых чисел в пределах до примориалов.

Как-то витиевато излагаете. Можно ли понимать Вас так,
что человечество на сегодня еще не умеет вычислять количества простых чисел в пределах до примориалов ?

[Батороев]

sceptic в сообщении #342878 писал(а):

Кариотип у числа один, или их может быть несколько? Если он один, как определяется $p_{i}$? Можно ли понимать, что $p_{i}$ есть наибольшее простое, не превосходящее $\sqrt {n}$? Или же оно есть наибольшее простое$p_{i}<n$?

Простое число $p_i$ выбирается в зависимости от решаемых задач, оно может и превосходить $n$. Например, вычисляя "кариотип" разности чисел $202-199$, мы получаем "кариотип" числа $3$, составленный до простого $p_i=13>n=3$ (хотя последние "хромосомы" и состоят из одних троек).

sceptic в сообщении #342878 писал(а):

Как-то витиевато излагаете. Можно ли понимать Вас так,
что человечество на сегодня еще не умеет вычислять количества простых чисел в пределах до примориалов ?

Нет, в математике существует формула Лагранжа.
Насколько я знаю (а я могу многое и не знать), она - единственная (ее разновидности не в счет).

Вычисляя по формуле Лагранжа, необходимо проводить вычисления по всем простым до квадратного корня из примориала. Поэтому хочется чего-нибудь более короткого.

[Андрей АK]

А вот если одно число является делителем другого, то как будут связаны ихние "кариотипы"?

[Батороев]

У этих чисел (как и у любых родственников ) в "кариотипе" должны присутствовать общие "хромосомы" в виде нулей (по количеству общих простых делителей).

[Андрей АK]

Вернее, у одного из чисел (делимого) вместо некоторых "хромосом" будут стоять нули.
Все же прочие "хромосомы" у них должны совпадать.
Если же несовпадающие нули будут встречаться у обоих чисел ... то тогда эти числа не будут делить друг друга, но у них будет НОК меньшее , чем произведение этих двух чисел.

[Батороев]

"Кариотипы" двух сравниваемых чисел для наглядности должны быть составлены до одной и той же "хромосомы". Например, сравниваем числа $25$ и $5$:
$K_{25}^{13}=|1|1|0|4|3|12|$
$K_{5}^{13}=|1|2|0|5|5|5|$

Как мы видим имеется общий нуль.
Совпадения других "хромосом" могут быть, а могут и не быть.

-- 17 авг 2010 13:28 --

Более наглядный пример с числами $30$; $6$; $5$ :

$ K_{30}^{17}= |0|0|0|2|8|4|13|$
$ K_{6}^{17}= |0|0|1|6|6|6|6|$
$ K_{5}^{17}= |1|2|0|5|5|5|5|$

Здесь сразу видно, кто чей "родственник".

[Андрей АK]

Да точно, я немного запутался.
При умножении, остатки перемножаются (по модулю).

[Андрей АK]

Оказывается это называется "Система остаточных классов" (СОК).

//Книга: Самофалов К.Г., Романкевич А.М., Валуйский В.Н.,Каневский Ю.С.,Пиневич М.М. - Прикладная теория цифровых автоматов. (1987 Киев "Вища школа".

Такое представление относится к "Символическим системам счисления".

В книге рассматриваются всевозможные экзотические системы счисления, в том числе и эта.

Например, оказывается , что не обязательно брать подряд все простые числа, а достаточно произвольного набора взаимно простых (желательно без общих делителей т.е. лучше всего простых), например, (38,41,43,53,59) - таким набором можно представить все числа в диапазоне 0-209490237.

В СОК нет только операции деления, а складывать и перемножать можно.

"СОК применяется в специализированных вычислительных машинах , для которых 1) Одним из основных требований является получение высокого быстродействия 2) Диапазон исходных чисел и промежуточных результатов строго фиксирован 3)Операция деления встречается крайне редко. Кроме того, СОК применяется в ЭВМ для контроля цепей и переработки информации."