Уравнение 16_ой степени.

[Vvp_57]

Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$

[Mathusic]

На какую-то степень $x$ надо разделить и получится возможно что-то хорошее.

[Vvp_57]

Mathusic в сообщении #342257 писал(а):

На какую-то степень $x$ надо разделить и получится возможно что-то хорошее.

Вряд ли. Ведь это уравнение получилось после деления:
$x^{32}-x^{31}+x^{29}-x^{28}+x^{26}-x^{25}+x^{23}-^{22}+x^{20}-x^{19}+x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{13}+x^{12}-x^{10}+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1=0$
На $x^{16}$. И заменой $y=x+\frac{1}{x}$

[worm2]

Ну так ещё раз такой же приёмчик должен пройти (наверное).

[Vvp_57]

worm2 в сообщении #342323 писал(а):

Ну так ещё раз такой же приёмчик должен пройти (наверное).

Может быть, может быть. Нужно спросить у специалистов. Только на мой взгляд
это не пройдет. Хотя кто его знает.... Да, прошу прощения, но буду в инете
только завтра вечером.

[arqady]

Vvp_57 в сообщении #342260 писал(а):

Ведь это уравнение получилось после деления:
$x^{32}-x^{31}+x^{29}-x^{28}+x^{26}-x^{25}+x^{23}-^{22}+x^{20}-x^{19}+x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{13}+x^{12}-x^{10}+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1=0$
На $x^{16}$. И заменой $y=x+\frac{1}{x}$

Тогда решим сначала вот такое уравнение:

$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

[Vvp_57]

arqady в сообщении #342467 писал(а):

Тогда решим сначала вот такое уравнение:

$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Тогда придеться находить корень семнадцатой степени из недействительного числа,
а как это делать, чтоб получились квадратные радикалы?

[мат-ламер]

Цитата:

arqady в сообщении #342467 писал(а):

Тогда решим сначала вот такое уравнение:

$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Извините, я не слежу за обсуждением. Но все (комплексные) корни последнего уравнения выражаются в радикалах. В журнале Квант была статья, как Гаусс решал уравнение 17-ти угольника. (Тут правда 51-угольник).

[Vvp_57]

мат-ламер в сообщении #342603 писал(а):

Цитата:

arqady в сообщении #342467 писал(а):

Тогда решим сначала вот такое уравнение:

$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Извините, я не слежу за обсуждением. Но все (комплексные) корни последнего уравнения выражаются в радикалах. В журнале Квант была статья, как Гаусс решал уравнение 17-ти угольника. (Тут правда 51-угольник).

Так об этом и речь. Как найти корень когда 51-угольник? Ведь Гаусс
утверждает что он(корень, корни) выражаются через радикалы.

[Сергей Маркелов]

Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):

Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:
$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$

Данный многочлен 16-ой степени можно представить как произведение двух многочленов 8-ой степени:

$$ {x}^{8}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+ \left( 5-3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}+21/2 \right) {x}^{4}+ \left( -12+5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( - \sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8-2\,\sqrt {17} \right) x+1 $$

и

$$ {x}^{8}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+ \left( 5+3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}+21/2 \right) {x}^{4}+ \left( -12-5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( \sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8+2\,\sqrt {17} \right) x+1 $$

[arqady]

Vvp_57 в сообщении #342598 писал(а):

arqady в сообщении #342467 писал(а):

Тогда решим сначала вот такое уравнение:

$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Тогда придеться находить корень семнадцатой степени из недействительного числа,
а как это делать, чтоб получились квадратные радикалы?

Ведь Ваше уравнение так мы решим (что Вы и просили), а радикалы - это уже философия.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):

Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

GAP с RadiRoot такое умеет делать: post74314.html#p74314
Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

[Vvp_57]

Сергей Маркелов в сообщении #342652 писал(а):

Данный многочлен 16-ой степени можно представить как произведение двух многочленов 8-ой степени:

$$ {x}^{8}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+ \left( 5-3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}+21/2 \right) {x}^{4}+ \left( -12+5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( \sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8-2\,\sqrt {17} \right) x+1 $$

и

$$ {x}^{8}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+ \left( 5+3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}+21/2 \right) {x}^{4}+ \left( -12-5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( \sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8+2\,\sqrt {17} \right) x+1 $$

Хорошо, очень хорошо. Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения,
а вот для четвертой есть. Можете ли вы разложить эти многочлены на два по четыре?

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #342735 писал(а):

Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения

Это для произвольных многочленов. А для многочленов, корни которых выражаются в радикалах, такие алгоритмы есть (см. ссылку на RadiRoot выше).

[arqady]

maxal в сообщении #342733 писал(а):

Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

Вот это подарок! Спасибо! Только мне представляется это уравнение таким алгоритмом практически не осилить.