2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Уравнение 16_ой степени.
Сообщение31.07.2010, 21:55 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение02.08.2010, 23:37 
Аватара пользователя


14/08/09
1140
На какую-то степень $x$ надо разделить и получится возможно что-то хорошее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение03.08.2010, 00:20 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Mathusic в сообщении #342257 писал(а):
На какую-то степень $x$ надо разделить и получится возможно что-то хорошее.

Вряд ли. Ведь это уравнение получилось после деления:
$x^{32}-x^{31}+x^{29}-x^{28}+x^{26}-x^{25}+x^{23}-^{22}+x^{20}-x^{19}+x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{13}+x^{12}-x^{10}+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1=0$
На $x^{16}$. И заменой $y=x+\frac{1}{x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение03.08.2010, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3136
Уфа
Ну так ещё раз такой же приёмчик должен пройти (наверное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение03.08.2010, 13:11 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
worm2 в сообщении #342323 писал(а):
Ну так ещё раз такой же приёмчик должен пройти (наверное).

Может быть, может быть. Нужно спросить у специалистов. Только на мой взгляд
это не пройдет. Хотя кто его знает.... :wink: Да, прошу прощения, но буду в инете
только завтра вечером.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.08.2010, 23:48 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Vvp_57 в сообщении #342260 писал(а):
Ведь это уравнение получилось после деления:
$x^{32}-x^{31}+x^{29}-x^{28}+x^{26}-x^{25}+x^{23}-^{22}+x^{20}-x^{19}+x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{13}+x^{12}-x^{10}+x^9-x^7+x^6-x^4+x^3-x+1=0$
На $x^{16}$. И заменой $y=x+\frac{1}{x}$

Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение04.08.2010, 19:09 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$


Тогда придеться находить корень семнадцатой степени из недействительного числа,
а как это делать, чтоб получились квадратные радикалы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение04.08.2010, 19:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Цитата:
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Извините, я не слежу за обсуждением. Но все (комплексные) корни последнего уравнения выражаются в радикалах. В журнале Квант была статья, как Гаусс решал уравнение 17-ти угольника. (Тут правда 51-угольник).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение04.08.2010, 20:45 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
мат-ламер в сообщении #342603 писал(а):
Цитата:
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$

Извините, я не слежу за обсуждением. Но все (комплексные) корни последнего уравнения выражаются в радикалах. В журнале Квант была статья, как Гаусс решал уравнение 17-ти угольника. (Тут правда 51-угольник).

Так об этом и речь. Как найти корень когда 51-угольник? Ведь Гаусс
утверждает что он(корень, корни) выражаются через радикалы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 01:59 


29/06/08
53
Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):
Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:
$x^{16}-x^{15}-16x^{14}+16x^{13}+103x^{12}-103x^{11}-339x^{10}+339x^9+596x^8--596x^7-526x^6+526x^5+188x^4-188x^3-16x^2+16x+1=0$


Данный многочлен 16-ой степени можно представить как произведение двух многочленов 8-ой степени:

$$
{x}^{8}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5-3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12+5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( -
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8-2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$

и

$$
{x}^{8}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5+3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12-5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( 
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8+2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2010, 07:37 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Vvp_57 в сообщении #342598 писал(а):
arqady в сообщении #342467 писал(а):
Тогда решим сначала вот такое уравнение:
$$x^{34}+x^{17}+1=0$$


Тогда придеться находить корень семнадцатой степени из недействительного числа,
а как это делать, чтоб получились квадратные радикалы?

Ведь Ваше уравнение так мы решим (что Вы и просили), а радикалы - это уже философия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 16:50 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Vvp_57 в сообщении #341855 писал(а):
Решите пожалуйста уравнение, если известно
что его корни выражаются через квадратные радикалы:

GAP с RadiRoot такое умеет делать: post74314.html#p74314
Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 16:55 
Аватара пользователя


13/04/10
152
Архангельская обл.
Сергей Маркелов в сообщении #342652 писал(а):
Данный многочлен 16-ой степени можно представить как произведение двух многочленов 8-ой степени:
$$
{x}^{8}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5-3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( 1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12+5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( 
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8-2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$
и
$$
{x}^{8}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}-1/2 \right) {x}^{7}-6\,{x}^{6}+
 \left( 5+3\,\sqrt {17} \right) {x}^{5}+ \left( -1/2\,\sqrt {17}+21/2
 \right) {x}^{4}+ \left( -12-5\,\sqrt {17} \right) {x}^{3}+ \left( 
\sqrt {17}-6 \right) {x}^{2}+ \left( 8+2\,\sqrt {17} \right) x+1
$$


Хорошо, очень хорошо. Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения,
а вот для четвертой есть. Можете ли вы разложить эти многочлены на два по четыре?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 16_ой степени.
Сообщение05.08.2010, 16:57 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Vvp_57 в сообщении #342735 писал(а):
Только для восьмой степени нет общего алгоритма решения

Это для произвольных многочленов. А для многочленов, корни которых выражаются в радикалах, такие алгоритмы есть (см. ссылку на RadiRoot выше).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.08.2010, 17:30 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
maxal в сообщении #342733 писал(а):
Ещё можно попробовать решить в косинусах, как расписано тут: http://community.livejournal.com/ru_math/62661.html

Вот это подарок! Спасибо! Только мне представляется это уравнение таким алгоритмом практически не осилить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group