Задачка а ля "линия погони"

[Mr. X]

В вершинах правильного $n-$угольника $A_1(R, 0),\, A_2(R\cos\frac{2\pi}{n}, R\sin\frac{2\pi}{n}),\, ..., A_n(R\cos(2\pi-\frac{2\pi}{n}), R\sin(2\pi-\frac{2\pi}{n}))$ координатной плоскости $Oxy$ сидят улитки. В начальный момент времени $(t=0)$ они начинают ползти друг к другу-- первая (из $A_1$) ко второй ($A_2$), вторая к третьей, ... , $n-$ая к первой с постоянной скоростью $v$. Написать параметрические уравнения движения первой улитки $x=x(t),\, y=y(t)$ (в качестве параметра $t\geqslant 0$ взять время).

[EtCetera]

Заметим, что траектории улиток одинаковы с точностью до поворота на угол $\alpha=\dfrac{2\pi}{n}$ (следует из соображений симметрии). Будем рассматривать движение первой улитки в координатах $(r(t),\phi(t))$ (начальные условия $r(0)=R, \ \phi(0)=0$). Тогда движение второй улитки описывается уравнениями $\tilde r(t)=r(t),\ \tilde \phi(t)=\phi(t)+\alpha$. Условие "погони" первой улитки за второй означает
$\dfrac{\dot y}{\dot x}=\dfrac{\tilde y-y}{\tilde x-x}$ (1).
Т.к. $x=r\cos\phi,\ y=r\sin\phi$ и $\tilde x=\tilde r\cos\tilde \phi,\ \tilde y=\tilde r\sin\tilde \phi$, то
$\dfrac{(r\sin\phi)'_t}{(r\cos\phi))'_t}=\dfrac{r\sin(\phi+\alpha)-r\sin\phi}{r\cos(\phi+\alpha)-r\cos\phi}$ (2)
откуда
$\dot r+r\dot\phi\tg\tilde\alpha=0$ (3),
где $\tilde\alpha=\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\pi}{n}$ (*).
Условие движения с постоянной скоростью означает
$\dot r^2+r^2\dot\phi^2=v^2$ (4).
Итак, имеем систему из двух дифференциальных уравнений (3) и (4).
Выражая $r$, получаем $\dot r=\pm v\sin\tilde\alpha$. Отбрасывая паразитное положительное значение производной и применяя начальные условия, получим:
$r(t)=R-vt\sin\tilde\alpha $ (5).
Подставляя это выражение в (3), находим $\dot\phi$:
$\dot\phi=\dfrac{v\cos\tilde\alpha}{R-vt\sin\tilde\alpha}$,
откуда (с учетом начальных условий)
$\phi(t)=-\dfrac{1}{\tg\tilde\alpha}\ln\left(1-\dfrac{vt\sin\tilde\alpha}{R}\right)$ (6).
Отсюда легко выразить искомые формулы $x(t)$ и $y(t)$, однако они получаются громоздкими и ненаглядными.
Гораздо интереснее освободиться от параметра $t$ в выражениях (5) и (6)
$\phi=-\dfrac{1}{\tg\tilde\alpha}\ln\dfrac{r}{R}$
и найти зависимость $r(\phi)$:
$r(\phi)=Re^{-\phi\tg\tilde\alpha}$.
Таким образом, улитки движутся по логарифмическим спиралям (подозреваю, что до этого можно было догадаться и исходя из чисто геометрических соображений, используя основное свойство логарифмической спирали о постоянстве угла между касательной к ней и радиусом-вектором, проведенным к точке касания).
Время движения улиток (из (5) и $r(\tau)=0$)
$\tau=\dfrac{R}{v\sin\tilde\alpha}$ (7),
а расстояние, которое проходит каждая из них,
$s=v\tau=\dfrac{R}{\sin\tilde\alpha}$ (8).
При $n=2,3$ "догоняемая" улитка помогает "догоняющей" (угол $\gamma$ между векторами их скоростей тупой), при $n>4$ - мешает ($\gamma$ - острый). $n=4$ - самый интересный случай, т.к. $\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ и $s$ равно расстоянию между догоняющей и догоняемой улитками в начальный момент времени (т.е. стороне правильного многоугольника из условия), поэтому возможен ряд наглядных интерпретаций для описания поведения улиток.

[Mr. X]

Большое спасибо. Ваше решение мне понятно. Я решал сразу в декартовых координатах и у меня получился ответ (который полностью согласуется с Вашими выкладками):

$\displaystyle x(t)=(R-vt\sin\frac{\pi}{n})\cos(\ctg\frac{\pi}{n}\ln(1-\frac{vt\sin\frac{\pi}{n}}{R}))\,,$

$\displaystyle y(t)=-(R-vt\sin\frac{\pi}{n})\sin(\ctg\frac{\pi}{n}\ln(1-\frac{vt\sin\frac{\pi}{n}}{R}))\,,$

где $\displaystyle t\in[0, \frac{R}{v\sin\frac{\pi}{n}})\,.$

Вы не могли бы пояснить также последний абзац Вашего решения. Правильно ли я понимаю, что "помощь" улиток означает, что расстояние, которое проходит улитка до момента встречи, меньше расстояния между ними в начальный момент времени?

Мне кажется интересным также, что улитки встречаются в центре исходного многоугольника лишь "асимптотически", т.к. логарифмическая спираль не проходит через полюс, а делает бесконечно много витков вокруг него.

[EtCetera]

Mr. X в сообщении #342308 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что "помощь" улиток означает, что расстояние, которое проходит улитка до момента встречи, меньше расстояния между ними в начальный момент времени?

Да, я это и имел в виду. Т.е. если разложить скорость "догоняемой" улитки на компоненту, направленную вдоль отрезка, соединяющего положения улиток ("догоняющей" и "догоняемой") в данный момент времени, и компоненту, направленную перпендикулярно, то хорошо видно, что при $n=2,3$ улитки сближаются взаимно, при $n>4$ имеем классический вариант погони, а при $n=4$ "догоняемая" улитка "стоит на месте".

[Mr. X]

(Еще раз) Спасибо, и за решение (внимание к задачке), и за ответ на вопрос.