замыкание/дополнение

[terminator-II]

Куратовский: сколько максимум различных множеств можно получить из данного подмножества топологического пространства применяя к этому подмножеству операции замыкания и дополнения (в любом порядке, в любом конечном числе)?

[мат-ламер]

Два раза подряд одну и ту же операцию производить не имеет смысла. Значит операции должны чередоваться. Но если множество замкнутое (а оно получится замкнутым после очередной операции замыкания), то если мы возьмём от него последовательно дополнение, замыкание, дополнение и замыкание, то придём к тому же множеству. Следовательно, цепочка операций ограничена в длине ...

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #342192 писал(а):

сколько максимум различных множеств можно получить...

Шесть.

[terminator-II]

правильный ответ 14

[ИСН]

Загадка. Если разрешить ещё объединение и пересечение, тогда, конечно, будет 14 (даже 16, считая пустое множество и всё пространство). Но так-то - - -

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #342299 писал(а):

правильный ответ 14

Пример можно?

[mihailm]

Вот здесь сколько получится? Считать не хочется)

$(0,1)\cup(1,2]\cup\{3\}$

не 14 но вроде как 10

[Профессор Снэйп]

Ну да, больше шести. Внутренность замыкания может оказаться шире исходного множества...

[мат-ламер]

(Оффтоп)

В моём вчерашнем посту - ошибка. Там не произвольные замкнутые множества, а множества, совпадающие с замыканием своей внутренности. Но суть дела это не меняет.

[Профессор Снэйп]

мат-ламер в сообщении #342211 писал(а):

Но если множество замкнутое (а оно получится замкнутым после очередной операции замыкания), то если мы возьмём от него последовательно дополнение, замыкание, дополнение и замыкание, то придём к тому же множеству

По ходу это не верно. Возьмём одноточечное подмножество $\mathbb{R}$, оно замкнуто...

--------------------------

Там уже замечали, что повторять операции смысла нет (два замыкания подряд эквивалентны одному замыканию, два дополнения подряд приводят к исходному множеству).

Кроме того, $\overline{\mathrm{cl}(\overline{U})} = \mathrm{int}(U)$ и $\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}(U)))) = \mathrm{cl}(\mathrm{int}(U))$, $\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}(U)))) = \mathrm{int}(\mathrm{cl}(U))$ для любого множества $U$. Итого получаются следующие варианты:

1) $X$ (исходное множество)
2) $\mathrm{int}(X)$
3) $\mathrm{cl}(X)$
4) $\mathrm{int}(\mathrm{cl}(X))$
5) $\mathrm{cl}(\mathrm{int}(X))$
6) $\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}(X)))$
7) $\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}(X)))$

8) $\overline{X}$
9) $\mathrm{int}(\overline{X})$
10) $\mathrm{cl}(\overline{X})$
11) $\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\overline{X}))$
12) $\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\overline{X}))$
13) $\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\overline{X})))$
14) $\mathrm{int}(\mathrm{cl}(\mathrm{int}(\overline{X})))$

И ясно, что других нет. Осталось подобрать $X$, для которого все эти варианты различны. По ходу годится подмножество действительной прямой, равное

$$ X = (-\infty,-2) \cup (-2,-1) \cup \big( [-1,1) \cap \mathbb{Q} \big) \cup \{ 2 \} $$

P. S. Спасибо афтару, я стал лучше представлять многие вещи

[Padawan]

ИСН в сообщении #342307 писал(а):

Загадка. Если разрешить ещё объединение и пересечение, тогда, конечно, будет 14 (даже 16, считая пустое множество и всё пространство). Но так-то - - -

А если разрешить объединение и пересечение, то можно получить бесконечно (!!!) разных множеств. Недавно об этом узнал.
Причём множество подойдет то же самое, для которого 14 множеств в исходной задаче реализуется.