Но если множество замкнутое (а оно получится замкнутым после очередной операции замыкания), то если мы возьмём от него последовательно дополнение, замыкание, дополнение и замыкание, то придём к тому же множеству
По ходу это не верно. Возьмём одноточечное подмножество

, оно замкнуто...
--------------------------
Там уже замечали, что повторять операции смысла нет (два замыкания подряд эквивалентны одному замыканию, два дополнения подряд приводят к исходному множеству).
Кроме того,

и

,

для любого множества

. Итого получаются следующие варианты:
1)

(исходное множество)
2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)
9)

10)

11)

12)

13)

14)

И ясно, что других нет. Осталось подобрать

, для которого все эти варианты различны. По ходу годится подмножество действительной прямой, равное

P. S. Спасибо афтару, я стал лучше представлять многие вещи
