Проблемы аналитического продолжения тетрации

[Nxx]

Хотел бы в этой теме обсудить, какие есть проблемы и трудности аналитического распространения тетрации на область действительных чисел.

Напомню, что тетрацией называется действие четвертого порядка (если сложение считать действием первого порядка, умножение - второго и возведение в степень - третьего).

Записывают, например, так:

$$\operatorname{sexp}_a x$$

$a$ называется основанием, а $x$ - высотой.

Согласно основному функциональному уравнению,

$$\operatorname{sexp}_a x=a^{\operatorname{sexp}_a(x-1)}$$

Кроме того, по определению,

$$\operatorname{sexp}_a (-1) = 0$$

Таким образом, тетрация определена для любых $a$ и целых $x > -2$. Проблема заключается в том, чтобы натульным образом распространить эту функцию на нецелые высоты, так, чтобы основное функциональное уравнение, и другие свойства, оставались в силе, а функция получилась аналитической. На этот счет есть несколько предложений, но все они имеют определенные недостатки.

Вот предмет дискуссии, и хотелось узнать мнение участнаков форума относительно того, как они считают, возможно ли красивое аналитическое продолжение этой функции и услышать их предложения по построению такого продолжения.

Многие предложения по построению продолжения ставят условие монотонности функции, но мне кажется, что это не совсем правильно: если бы мы знали значения гамма-функции в точках -1/2, -3/2, -5/2 и т.д, и попытались ее распространить на все действительные числа, поставив условие монотонности, то мы бы получили нечто, совсем не похожее на гамма-функцию.

[Droog_Andrey]

ИМХО, таких продолжений бесконечно много.

[Руст]

по аналогии с третьей ступенью $a^{x}=a^{x-1}*a$ даже для не целых степеней надо требовать выполнения
$sexp_a(x)=a^{sexp_a(x-1)}$ и не для целых х. Тогда возможно будет единственность аналитического продолжения.

[Nxx]

Все равно, будети несколько решений.

[maxal]

см. http://mathworld.wolfram.com/ArrowNotation.html

[AKELLA]

Анализ математической функция “Вавилонская башня”, вычислить значение которой очень и очень непросто, несмотря на простоту определения - отличная головоломка.


Обозначим эту функцию как overflow(t, x), причем t – это целое число, t>=0; x – число с плавающей точкой, x>1.

Саму функцию определим так:
Overflow(0, x) = x;
Overflow(t, x) = x ^ overflow(t-1, x); t>=1; ^ - знак возведения в степень

{Overflow(t, x) = x ^ ( x ^ x … t раз …. ))))}

С ростом t функция невообразимо быстро возрастает: первая производная overflow(t,x) приближенно равна произведению всех (!) overflow(z, x), где z пробегает все значения от 0 до t включительно.

Некоторые интересные свойства “Вавилонской башни”:

X ^ overflow(t, x) = overflow(t, x) ^ x = overflow(t+1, x);
Overflow(t*t, x) = overflow(t, overflow(t, x));
Overflow(2*t, x) = overflow(1, overflow(t, x));
Overflow(t, 1) = 1 для любого t

Даже при малых t и x функция возвращает очень большие значения:

overflow(5, 2) = 2 ^ (2 ^ 65536)

Интересно, чему равно overflow(64, 2)?

Тема объединена с существующей.

[Droog_Andrey]

См. тут: topic24741.html

[AKELLA]

в продолжении темы расчета overflow(64, 2). Обозначим fn = overlow(n, 2)

Тогда
f64 = f32 ^ f32
f32 = f16 ^ f16
f16 = f8 ^ f8
f8 = f4 ^ f4
f4 = f2 ^ f2
f2 = f1 ^ f1;
f1 = 2

Получаем
f2 = 4
f4 = 4 ^ 4 = 256
Теперь идем на wolframalpha.com и считаем
f8 = f4 ^ f4 = 256 ^ 256

Ответ не может не радовать:
32317006071311007300714876688669951960444102669715484032130345427524655138867890893197201411522913463688717960921898019494119559150490921095088152386448283120630877367300996091750197750389652106796057638384067568276792218642619756161838094338476170470581645852036305042887575891541065808607552399123930385521914333389668342420684974786564569494856176035326322058077805659331026192708460314150258592864177116725943603718461857357598351152301645904403697613233287231227125684710820209725157101726931323469678542580656697935045997268352998638215525166389437335543602135433229604645318478604952148193555853611059596230656
(617 десятичных знаков)

К сожалению, мощности Вольфрама не хватает, чтобы узнать значение f16

[venco]

AKELLA в сообщении #342028 писал(а):

f64 = f32 ^ f32

Неправильно.

[AKELLA]

venco упс. Точно. Не знаю почему, но я возвращаюсь к этому числу снова и снова.
Потешиться выводом всех десятичных разрядов f64 видимо хочу )