Коммутативная ассоциативная операция

[Руст]

Да, коммутативность ни причём.

[RIP]

По поводу 3, см. изначальное док-во, я просто пояснил это место (получаем a>a).
То, что числа этого вида исчерпывают всё $\mathbb{R}_+$, следует из того,что определенная на $\mathbb{R}$ по непрерывности функция $e(x)$ непрерывна, строго возрастает и имеет пределы 0 и $\infty$ там, где положено. Вообще, советую посмотреть какой-нибудь учебник по матану, построение элементарных функций таких, как показательная, степенная и логарифм. Думаю, что оно будет близко к моему.

[bot]

2RIP. Спасибо за совет - хотя мозги у меня дискретные, но некоторые азы непрерывности, в частности и эти, доводилось излагать студентам.
Дело в другом, во-первых, если меня задача заинтересовала, я предпочитаю не смотреть решений до тех пор, пока сам не доберусь, а во-вторых признаю глупым требовать от всех, чтобы они действовали по плану, который сложился у меня, то есть дробили задачу на части, каждый кусок рассматривали изолированно от других и тем более в более общих условиях. В частности, пока не доказана архимедовость для меня не существовал корень квадратный.

Вчера, шагая на остановку, понял мимо чего я проскочил при доказательстве архимедовости, хотя с этого естественно и начинал:
Пусть $a>e$ и $\forall n (a^n < b \in I)$. Тогда существует $\lim a^n = x$. Далее надо было продолжить: так как $x\in I$ (то есть $x$ - элемент группы!), а $@$ непрерывна, то $x=\lim a^{n+1} = a\lim a^n = ax$, откуда $a=e.$ Вот и всё. На самом деле от непрерывности здесь достаточно требовать непрерывность по одной из переменной при любом фиксировании другой.

Забыв о том, что $x\in I$ (отказ от сведения произвольного интервала к $R_+$ сыграл со мной злую шутку), пошёл по пути введения "neues ordnung": $a \preceq b \iff \forall c (ca \le cb)$. Заметив, что в нашем случае "для всех" означает "существует" и даже то, что этот новый порядок совпадает со старым, тем не менее стал рассматривать с более общих позиций - как решёточный, имея намерения в нужный момент вспомнить про непрерыность. А вместо непрерывности понадобилась только лишь полнота $I$, что меня удивило и заставило сомневаться. Сегодня сверился - это почти в точности совпадает с рассуждениями Канторовича (1937) для целозамкнутости (аналога архимедовости для частично упорядоченных групп). Его доказательство (впрочем может быть и не оригинальное - статью я не смотрел) с присоединением к нему необходимых понятий и леммы о бесконечной дистрибутивности как раз и займёт 2-3 страницы. Кстати, для непрерывных групп это результат Лунса (1946) - обычное дело для тех времён - западники почти не знали наших результатов, а если и знали, то часто игнорировали.
ЗЫ. Вот здесь

Цитата:

- И изоморфны аддитивной группе R - это результат 107-летней давности.

я неточно проинтерпретировал диалог с коллегой. Речь очевидно шла о результате Гёльдера (1901).
Во-первых, не 107-, а 105-летней давности - ну это и он мог ошибиться (он такой же слабак в арифметике, как и я - надо было от 106 отнять единицу, а он прибавил ), а во-вторых этот результат о характеризации: линейно упорядоченная группа изоморфно вложима в аддитивную группу $R$ тогда и только тогда, когда она архимедова.
А червячок сомнения не зря меня грыз - если заранее коммутативность не предполагать, то в качестве презента она не получается, однако в случае линейной упорядоченности (и даже решёточной упорядоченности) выводится из архимедовости и является необходимой частью доказательства, вот этого у меня и не было.