Задача о пересекающихся отрезках

[katamaran]

Добрый день. Помогите решить следующую задачу.
Есть отрезок длиной Т, на него произвольно бросаются отрезочки длинной t (t<< T), количеством N.
Сколько из брошенных отрезков будут пересекаться?
Спасибо.

[mihailm]

Сколько из брошенных отрезков будут пересекаться с чем?
вопрос то нормально задайте

[gris]

Если я догадался, то это известная задача о нахождении математического ожидания числа пересечений коротких отрезков с длинным. Обычно задано, что "вертикальное " расстояние от центра каждого короткого отрезка до длинного распределено нормально (прицельное кидание) с одинаковыми параметрами. То есть длинный отрезок предполагается бесконечным.
В более сложном случае задаётся "горизонтальное" распределение и учитываются эффекты падения отрезков в окрестности концов длинного.
Задача сводится к нахождению вероятности пересечения одного короткого отрезка с длинным.

[paha]

А можно поставить вопрос так: сколько коротких отрезков НЕ БУДУТ пересекаться ни с одним из остальных коротких

[mihailm]

Про то что с чем пересекается или не пересекается это первый вопрос автору

Второй вопрос - распределение автору нужно, матожидание или еще чего

[gris]

Такой вопрос (о количестве) не корректен в задаче со случайными событиями.
Можно говорить о функции распределения числа изолированных отрезков, о матожидании этого числа и т.д. Вообще это напоминает довольно стандартные задачи теории цирциттеровых множеств.
В любом случае должен быть определён закон распределения коротких отрезков на плоскости. Равномерного распределения по всей плоскости не существует, либо задача сводится к конечной, как у Бюффоновой Иглы.
Вообще надо исходить из первоначальной практической задачи. Скорее всего там нормальное распределение.
А если это чисто учебная задача, то в ней не хватает много чего.

[paha]

Я тут в уме прикинул что будет для равномерного распределения. У меня получилось вот такое мат. Ожидание числа "изолированных" отрезков: $N(1-p+p^2)^N$ ($p=t/T$).
Но я мог и ошибиться.

[gris]

Только что дошло, что задача одномерная. Ну никак не мог представить себе, что отрезок можно кинуть на прямую и попасть ровнёхонько.

[katamaran]

Извините за неточную формулировку.

Еще раз.
Задача одномерная!
На отрезке длинной Т, откладывают N отрезков длиной t (t<<T), каждый отрезок t откладывается начиная с произвольного места на T.
Часть отрезков наложатся (частично или полностью, не важно), возможны варианты что наложатся два отрезка, три , четыре и т.д.
Необходимо выяснить, какая часть от общего числа отрезков N не наложилась, сколько парных наложений, тройных и пр.

Физически это можно представить следующим образом:
Есть интервал времени Т работы некоторой аппаратуры, которая регистрирует некоторые сигналы длительностью t (t<<T).
В этом интервале произвольным образом появляются эти сигналы, общим
числом N за время Т. Какая доля сигналов наложатся? То-есть сколько сигналов придет в момент когда аппаратура еще регистрирует предыдущий.

[gris]

СМО?
Поток заявок, время обслуживания... Я бы взял задачник по случайным процессам, подобрал подходящее условие и посмотрел в ответ .
Хотя на практике возникают нюансы.

[katamaran]

СМО ... надо попробовать, спасибо за совет.

[Henrylee]

А $N$ по условию задачи это среднее число сигналов, появляющееся за время $T$ или жестко фикcированное?

-- Чт июл 29, 2010 18:23:20 --

В случае, если $N$ фиксировано, в предположении, что поток сигналов $N_t$ - однороный пуассоновский процесс (с постоянной интенсивностью), у меня получилось следующее выражении для вероятности появления $k$ сигналов за промежуток $\Delta t$

$$ \Prob\{N_{t+\Delta t}-N_t=k|N_T=N\}=C_{N}^k\frac{(T-\Delta t)^{N-k}(\Delta t)^k}{T^N} $$

-- Чт июл 29, 2010 18:25:51 --

Ясно, что к $k$ добавятся еще сигналы, появившиеся на предыдущем промежутке. PS предполагал, что $t+\Delta t\leqslant T$.

Ну то есть, если мы выбираем некий промежуток длины $\Delta t$, то среднее количество "правых" отрезков, которые на него наложатся, равно $Np$, $p=\Delta t/T$

[Shtirlic]

Сразу скажу, при $N$ - фиксированном числе заявок, условия отсутствия последействия и независимости появления заявок не выполняются. Нам важно как система пришло в какое-либо состояние. Поэтому простые марковские процессы нам не подходят.

[Henrylee]

У меня условный процесс, если Вы не заметили

[Shtirlic]

Henrylee
Да я не комментировал ваше сообщение. Это я сказал к тому, что я не особо уверен, что сюда подойдет СМО, хотя я много и не знаю.
Что касается вашего сообщения. Вот если искать вероятность наступления $k$ событий за промежуток $t$. То ясно, что это вероятность наложения $k$ отрезков.
Тогда $P_k=C_n^k\frac{t^{k}(T-t)^{N-k}}{T^n}$ искомые доли, средние естественно.