О неравенстве Юнга

[Sasha2]

Вот неравенство Юнга $\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q} \ge xy$ для всех $x,y>0$ и для всех положительных $p$ и $q$, таких что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Интересно, а вот допускает ли оно такое обобщение: $\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}+\frac{z^r}{r} \ge xyz$ для положительных $x,y,z$ и положительных $p,q,r$, таких что $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=1$? И дальнейшее аналогичное обобщение на случай любого числа переменных $x,y,z...$

-- Пн июл 26, 2010 10:14:56 --

Вообще, наверно жара действует. Вижу, что это неравенство Юнга легко следует из весового неравенства AM-GM. Естественно, поэтому, что данное обобщение справедливо.

[Padawan]

Отсюда, кстати, получается обобщение неравенства Гёльдера $\int |fgh| \leqslant\left(\int |f|^p\right)^{1/p}\left(\int |g|^q\right)^{1/q}\left(\int |h|^r\right)^{1/r}$