Иначе, существует ведь разрывная функция

такая, что

а значит и разрывный гомоморфизм из мультипликативной группы

в себя тоже существует:

Кстати, абелева группа

(точнее, полугруппа, ноль ведь есть

) как описывается? А то ведь речь изначально про умножение шла...
Вот если оставить только положительные числа, получается вроде гомеоморфно

. Гомеоморфизм - всем известный со школы логарифм, по любому допустимому основанию.
А если просто ноль выкинуть, то

, вроде так :)
А в связи с нулём... Есть гомоморфизм, который всё в ноль отправляет :)
Ну и непрерывность в условии, конечно же, нужна, правильно было замечено.