гомоморфизмы

[terminator-II]

Доказать, что гомоморфизмы $f:GL(\mathbb{R}^m)\to (\mathbb{R},\cdot)$ бывают только следующих двух сортов
1) $f(A)=|\det A|^\sigma$
2) $f(A)=|\det A|^{\sigma-1}\det A$

[paha]

вероятно, путь доказательства такой:

а) такой гомоморфизм непрерывен (в естественных топологиях)
б) из компактности ортогональной группы и того, что у нее две компоненты связности, следует, что $f(\rm{O}(\mathbb{R}^m))\subset\pm 1$
в) полярное разложение показывает, что $f(A)=\pm{\rm{sign}}(\det A)\cdot F(\lambda_1)\ldots F(\lambda_m)$, где $\lambda_i^2$ -- собственные числа (симметричной) матрицы $AA^T$ и $F:(\mathbb{R},\cdot)\to (\mathbb{R},\cdot)$ -- некоторый гомоморфизм

[terminator-II]

paha в сообщении #340727 писал(а):

такой гомоморфизм непрерывен

а ведь этот факт следовало бы загнать в условие .
Иначе, существует ведь разрывная функция $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такая, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$ а значит и разрывный гомоморфизм из мультипликативной группы $\mathbb{R}$ в себя тоже существует: $\exp(f(\ln|x|))$

paha в сообщении #340727 писал(а):

б) из компактности ортогональной группы и того, что у нее две компоненты связности, следует, что $f(\rm{O}(\mathbb{R}^m))\subset\pm 1$
в) полярное разложение показывает, что $f(A)=\pm{\rm{sign}}(\det A)\cdot F(\lambda_1)\ldots F(\lambda_m)$, где $\lambda_i^2$ -- собственные числа (симметричной) матрицы $AA^T$ и $F:(\mathbb{R},\cdot)\to (\mathbb{R},\cdot)$ -- некоторый гомоморфизм

да, идея такая

[paha]

terminator-II в сообщении #340747 писал(а):

существует ведь разрывная функция $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такая, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Я курс патологоанализа забыл... пример можно?-))) Или только существование утверждается?

[id]

paha
Координата числа $x \in \mathbb R$ в базисе Гамеля $\mathbb R$ как векторного пространства над $\mathbb Q$.

[paha]

ну вот... добавляем в условие непрерывность и вуаля

[Профессор Снэйп]

terminator-II в сообщении #340747 писал(а):

Иначе, существует ведь разрывная функция $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ такая, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$ а значит и разрывный гомоморфизм из мультипликативной группы $\mathbb{R}$ в себя тоже существует: $\exp(f(\ln|x|))$

Кстати, абелева группа $\langle \mathbb{R}, \cdot \rangle$ (точнее, полугруппа, ноль ведь есть ) как описывается? А то ведь речь изначально про умножение шла...

Вот если оставить только положительные числа, получается вроде гомеоморфно $\langle \mathbb{R}, + \rangle$. Гомеоморфизм - всем известный со школы логарифм, по любому допустимому основанию.

А если просто ноль выкинуть, то $\langle \mathbb{Z}_2, + \rangle \oplus \langle \mathbb{R}, + \rangle$, вроде так :)

А в связи с нулём... Есть гомоморфизм, который всё в ноль отправляет :)

Ну и непрерывность в условии, конечно же, нужна, правильно было замечено.