Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Э-э-э-э, ребята... В Саратове тоже +35

А у меня самая счастливая находка была позавчера. Совершенно неожиданно построился наименьший пандиагональный квадрат 6-го порядка из произвольных простых чисел из найденных 19 комплементарных пар. И алгоритм ну очень простой! Сначала строим ассоциативный квадрат, а из него с помощью преобразования 3-х квадратов получаем пандиагональный квадрат.

У меня есть программа построения ассоциативных квадратов 6-го порядка (она рассчитана на любой набор комплементарных пар), однако чем больше в наборе чисел, тем дольше работает программа. Вот из 19 пар квадрат построился мгновенно! Я запустила прграмму и хотела уйти завтракать, но не успела со стула встать, как квадрат построился. Может быть, ещё удача. Из этого набора чисел строится очень много МК.

А вот из 28 комплементарных пар из смитов программа надолго задумывается. Даже если беру только 18 пар, всё равно задумывается. Вся надежда на помощь maxal'а.

Pavlovsky
не отлынивайте, с вас 4 примитивных квадрата 5х5 из различных простых чисел с наименьшей одинаковой константой

Итак, одно белое пятно - отсутствие у Россера алгоритма построения нетрадиционного пандиагонального квадрата 6-го порядка - я ликвидировала. Осталось ещё одно белое пятно - алгоритм построения нетрадиционного пандиагонального квадрата 9-го порядка. Такого алгоритма у Россера тоже нет. Я уже получила несколько алгоритмов для порядка 9, но для квадратов из простых чисел они не годятся, а только для квадратов из произвольных натуральных чисел (повторяюсь, однако; уже выше писала об этом).

[Nataly-Mak]

По поводу наименьшего пандиагонального квадрата 6-го порядка из произвольных простых чисел. Может вполне оказаться, что найденный мной квадрат не является наименьшим. Он наименьший среди квадратов, построенных по данному алгоритму, то есть из ассоциативных квадратов. Но ведь пандиагональный квадрат можно построить и как-нибудь по-другому (как, например, построен пандиагональный квадрат из последовательных простых чисел с константой 930).
Обычный наименьший магический квадрат 6-го порядка из простых чисел имеет магическую константту 432. Так вот, константа наименьшего пандиагонального квадрата из произвольных простых чисел может быть заключена в интервале $[432,630)$. Если в этом интервале нет, тогда найденная мной магическая константа 630 минимальная.

Посмотрела у себя пандиагональный квадрат 7-го порядка из смитов (может быть, я его уже приводила здесь, не помню). Он построен из 7 арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью 1260. Магическая константа этого квадрата очень большая.
Понятно, что эти 7 прогрессий составляют примитивный квадрат. Я вообще-то пандиагональный квадрат этот давно строила и не по Россеру. Но если применить к этому примитивному квадрату преобразование Россера, то по идее должен получиться пандиагональный квадрат. Возможно, он будет другой, не эквивалентный построенному мной. Надо проверить.

[Nataly-Mak]

svb
о пандиагональном квадрате 11-го порядка из простых чисел.
Вы не пробовали достраивание?
Не помню, писала ли об этой идее здесь, точно писала на Портале ЕН.
Берём любой примитивный квадрат 7х7 из простых чисел и пытаемся достроить его до примитивного квадрата 11х11.
Программа достраивания очень простая.
Вот, покажу пример, что у меня получилось:


Примитивный квадрат 7х7 взяла соответствующий одному из ваших пандиагональных квадратов.

В полученном примитивном квадрате 11х11 только 4 числа не являются простыми (они выделены коричневым цветом).
Можно попробовать поискать последние три строки отдельно (то есть написать специальную программу). Шаблон известен (он на картинке изображён, см. верхнюю строку). Вдруг удастся достроить три строки по данному шаблону. Всего три строки осталось достроить!
Кроме того, можно пытаться достраивать другие примитивные квадраты 7х7, у вас ведь их много. Может быть, с каким-нибудь удачно выполнится достраивание. Мне кажется, что достраивание всё-таки выполнить проще, чем построить примитивный квадрат 11х11 с нуля.

Ну, хотя бы один пандиагональный квадрат 11-го порядка из различных простых чисел получить

[maxal]

Я начал с идеальных квадратов, у которых меньше степеней свобод.
Вот идеальный квадрат 6x6 из смитов с наименьшей возможной константой, равной 78540:

7195, 4306, 17149, 23566, 2362, 23962, 
22738, 9094, 24538, 9634, 4702, 7834, 
23089, 166, 9535, 18022, 6502, 21226, 
4954, 19678, 8158, 16645, 26014, 3091, 
18346, 21478, 16546, 1642, 17086, 3442, 
2218, 23818, 2614, 9031, 21874, 18985

[Nataly-Mak]

Интересно. А мне казалось, что построить идеальный квадрат сложнее, чем просто ассоциативный, так как в идеальном квадрате ещё должно присутствовать свойство пандиагональности.
Оказалось наоборот: дополнительное условие пандиагональности накладывает более жёсткие условия, и квадрат построить проще.

Итак, один пандиагональный квадрат 6-го порядка из смитов у нас есть. Но является ли он наименьшим? Может, существует просто пандиагональный квадрат (не идеальный) с меньшей магической константой?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #340293 писал(а):

Надо попробовать построить ассоциативный квадрат 6-го порядка из найденных вами ранее 28 комплементарных пар смитов.

Такой нашелся (с минимально возможной константой 13200)
Увы, пока нет.

[Nataly-Mak]

Не поняла. Мне кажется, он у вас не совсем ассоциативный, например: 895+1822<>4400.

_____

Проверила построение пандиагонального квадрата 7-го порядка из смитов.
Это примитивный квадрат, составленный из 7 арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью 1260:

560974 562234 563494 564754 566014 567274 568534
3274762 3276022 3277282 3278542 3279802 3281062 3282322
5855494 5856754 5858014 5859274 5860534 5861794 5863054
20499502 20500762 20502022 20503282 20504542 20505802 20507062
33960406 33961666 33962926 33964186 33965446 33966706 33967966
75835678 75836938 75838198 75839458 75840718 75841978 75843238
191482402 191483662 191484922 191486182 191487442 191488702 191489962

(прогрессии найдены пользователем Mathusic)

Интересно бы уточнить, являются ли эти прогрессии наименьшими прогрессиями из смитов длины 7.

Применив к этому примитивному квадрату преобразование Россера, получила такой пандиагональный квадрат:

567274 5858014 33967966 191486182 3274762 20504542 75836938
191482402 3279802 20500762 75841978 563494 5863054 33964186
75838198 568534 5859274 33960406 191487442 3276022 20505802
33965446 191483662 3281062 20502022 75843238 564754 5855494
20507062 75839458 560974 5860534 33961666 191488702 3277282
5856754 33966706 191484922 3282322 20503282 75835678 566014
3278542 20499502 75840718 562234 5861794 33962926 191489962

И для сравнения пандиагональный квадрат, построенный мной из этих же прогрессий другим методом:

567274     3279802  5859274     20502022   33961666  75835678  191489962
75839458 191484922  562234     3274762     5863054     20505802  33965446
20500762   33960406   75843238   191488702 566014    3278542     5858014
3282322      5861794    20504542    33964186   75838198  191483662 560974
191487442  564754     3277282    5856754   20499502   33967966  75841978
33962926   75836938   191482402 568534     3281062  5860534    20503282
5855494    20507062    33966706  75840718  191486182  563494    3276022

При беглом взгляде вроде бы эти пандиагональные квадраты не эквивалентны.

Магическая константа этих квадратов равна 331495678.

Итак, пандиагональные квадраты из смитов у нас имеются для порядков 4 – 7. Правда, для порядков 6 - 7 вряд ли наименьшие.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #340526 писал(а):

Не поняла. Мне кажется, он у вас не совсем ассоциативный, например: 895+1822<>4400.

И в самом деле. Это был баг.

[Nataly-Mak]

Нашла 23 пары комплементарных смитов с суммой в паре 7460:

22 58 121 265 274 382 526 958 1165 1282 1376 1642 1822 1858 1921 2038 2155 2218 2362 2605 3046 3091 3595
7438 7402 7339 7195 7186 7078 6934 6502 6295 6178 6084 5818 5638 5602 5539 5422 5305 5242 5098 4855 4414 4369 3865

Обычные магические квадраты из чисел этого массива составляются, вот даже по своей программе построила такой квадрат:

4369  7438  2605  2155  5539  274 
958  3046  58  7078  5638  5602 
5818  526  3595  5098  6178  1165 
1642  6934  3865  2362  1282  6295 
6502  4414  7402  382  1822  1858 
3091  22  4855  5305  1921  7186

При построении я использовала весь массив, то есть все 23 пары (а не 18 пар).
Но вот ассоциативный квадрат построить пока не удаётся.

[Nataly-Mak]

maxal
а сколько у вас независимых переменных в программе построения ассоциативного квадрата 6-го порядка?
У меня 13, вот показываю независимые элементы $ai$:

a1 a2 a3 a4 a5 X
a6 a7 a8 a9 a10 X
a11 a12 a13 X X X
X X X X X X
X X X X X X
X X X X X X

Ещё нашла 20 комплементарных пар смитов с суммой в паре 7496, 20 пар с суммой 7568, 22 пары с суммой 7640.
И никак не удаётся построить ассоциативный квадрат.

12d3
давно вас не видно. Каникулы?
Вы могли бы нам помочь, если бы модифицировали свою программу построения обычных МК 6-го порядка. Я пользуюсь ею, но она строит все МК подряд, строит их очень много, и трудно определить, есть ли среди них ассоциативные. Надо вставить проверку ассоциативности в программу. Тогда будут строиться только ассоциативные квадраты. Если появится желание, попробуйте.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #341110 писал(а):

а сколько у вас независимых переменных в программе построения ассоциативного квадрата 6-го порядка?

Также 13, только порядок другой.

[Nataly-Mak]

Представлю алгоритм построения нетрадиционного пандиагонального квадрата порядка 9.
Он основан на построении примитивного квадрата, из которого пандиагональный квадрат получается с помощью преобразования.
Примитивный квадрат строится следующим образом:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
a1+b  .  .  .  .  .  .  .  .
a1+2b .  .  .  .  .  .  .  .
a1+3b .  .  .  .  .  .  .  .
a1+4b .  .  .  .  .  .  .  .
a1+5b .  .  .  .  .  .  .  .
a1+6b .  .  .  .  .  .  .  .
a1+7b .  .  .  .  .  .  .  .
a1+8b .  .  .  .  .  .  .  .

при этом $ai$ удовлетворяют условиям:

a1+a7=a2+a9=a3+a4=a5+a6=a8
a1+a4+a7=a2+a5+a8=a3+a6+a9
$b$ любое натуральное число.

Очевидно, что для простых чисел этот алгоритм не годится, так как сумма двух простых чисел не может быть простым числом (за исключением сложения простого числа с простым числом 2; но простое число 2 не используется при построении магических квадратов).

А вот из смитов, может быть, и получится. Кто возьмётся попробовать

Приведу пример построенного мной по этому алгоритму пандиагонального квадрата 9-го порядка из произвольных натуральных чисел.
Значения элементов $ai$:
$a1=3, a2=4, a3=5, a4=10, a5=6, a6=9, a7=12,a8=15, a9=11$
$b=20$.

Для нахождения элементов первой строки примитивного квадрата написала программку.

Для удобства в примитивном квадрате я располагаю элементы $ai$ в порядке возрастания. Примитивный квадрат будет такой:

3 4 5 6 9 10 11 12 15
23 24 25 26 29 30 31 32 35
43 44 45 46 49 50 51 52 55
63 64 65 66 69 70 71 72 75
83 84 85 86 89 90 91 92 95
103 104 105 106 109 110 111 112 115
123 124 125 126 129 130 131 132 135
143 144 145 146 149 150 151 152 155
163 164 165 166 169 170 171 172 175

Из этого примитивного квадрата применением матричного преобразования, которое я сочинила, исходя из примера построения Россером классического пандиагонального квадрата 9-го порядка, получаю следующий пандиагональный квадрат:

35 11 123 164 145 90 66 109 52
69 112 55 31 3 124 165 150 86
170 146 89 72 115 51 23 4 125
24 5 130 166 149 92 75 111 43
71 103 44 25 10 126 169 152 95
172 155 91 63 104 45 30 6 129
26 9 132 175 151 83 64 105 50
65 110 46 29 12 135 171 143 84
163 144 85 70 106 49 32 15 131

[Nataly-Mak]

maxal
ещё несколько вопросов о программе построения ассоциативных квадратов 6-го порядка.

Скажем, вы нашли точно 18 комплементарных пар смитов. Ваша программа проверяет этот набор чисел, выполняется до конца и даёт однозначный ответ о возможности составления ассоциативного квадрата из данных чисел?
Например, вот вы приводили МК из комплементарных пар с суммой в паре 4400. Выяснили ли вы до конца невозможность составления ассоциативного квадрата из этого набора чисел?

Далее, вы имеете набор из более 18 пар комплементрарных чисел. Как вы действуете в этом случае? Ваша программа рассчитана на проверку сразу всех пар (как это было у вас в случае с квадратами 4-го порядка)?

Моя программа может проверять любое количество комплементарных пар, теоретически. Однако практически она у меня ни разу не выполнилась до конца, я её просто прерываю, потому что конца не видно.
Был только один случай с 19 комплементарными парами простых чисел, когда ассоциативный квадрат построился мгновенно, как только я запустила программу.
Кстати, интересно, какой ассоциативный квадрат выдаст ваша программа для этих 19 комплементарных пар простых чисел:

11 13 17 19 29 31 37 43 47 53 59 61 71 73 79 83 97 101 103 199 197 193 191 181 179 173 167 163 157 151 149 139 137 131 127 113 109 107

Полученный мной квадрат я здесь уже показала.
При этом я запустила программу с использованием сразу всех 19 пар (можно задать в программе любое количество пар, начиная с 18).

Всё-таки очень интересно, найдётся ли ассоциативный квадрат 6-го порядка из смитов с магической константой меньше, чем магическая константа найденного вами идеального квадрата?

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #341439 писал(а):

Скажем, вы нашли точно 18 комплементарных пар смитов. Ваша программа проверяет этот набор чисел, выполняется до конца и даёт однозначный ответ о возможности составления ассоциативного квадрата из данных чисел?
Например, вот вы приводили МК из комплементарных пар с суммой в паре 4400. Выяснили ли вы до конца невозможность составления ассоциативного квадрата из этого набора чисел?

Пока нет. Все еще вычисляет. Надо бы переписать программу на компилируемый язык, что дало бы ускорение в десятки раз, но руки до этого пока не доходят.

Nataly-Mak в сообщении #341439 писал(а):

Далее, вы имеете набор из более 18 пар комплементрарных чисел. Как вы действуете в этом случае? Ваша программа рассчитана на проверку сразу всех пар (как это было у вас в случае с квадратами 4-го порядка)?

Да.

Nataly-Mak в сообщении #341439 писал(а):

Кстати, интересно, какой ассоциативный квадрат выдаст ваша программа для этих 19 комплементарных пар простых чисел:

Выдает такой:

61, 79, 47, 137, 167, 139, 
59, 109, 37, 127, 191, 107, 
179, 181, 193, 13, 11, 53, 
157, 199, 197, 17, 29, 31, 
103, 19, 83, 173, 101, 151, 
71, 43, 73, 163, 131, 149

[Nataly-Mak]

Ваш ассоциативный квадрат составлен из тех же чисел, что и мой (не использована пара 97, 113), однако квадраты не эквивалентны.
Продемонстрирую на примере вашего квадрата преобразование 3-х квадратов, превращающее ассоциативный квадрат в пандиагональный квадрат:



В своей книге "Волшебный мир магических квадратов" я описала это преобразование и доказала его на примере классического квадрата 4-го порядка. В книге я рассматривала в основном преобразования классических магических квадратов, поэтому данное преобразование было рассмотрено только для классических ассоциативных квадратов порядка $n=4k, k=1, 2, 3, ...$.
Оказывается оно применимо и к нетрадиционным ассоциативным квадратам любого чётного порядка.