В этом и вопрос, почему время является выделенной координатой?
Нет, мой вопрос был несколько не в этом. Что есть дифференциалы в Вашей формуле
![$\frac {\ dx^i} {\ dx^k}$ = \delta_k^i $\frac {\ dx^i} {\ dx^k}$ = \delta_k^i](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8b53724b7eb82550174bcba6c0a7fcb82.png)
?
Время есть в данном случае выделенная координата потому что таково определение (3-)скорости.
Ведь в СТО повсюду появляются выражения вида
![$\sqrt{(1- V^2)}$ $\sqrt{(1- V^2)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/6/256d0c26c1aa87309e47212a5222300182.png)
, где
![$\ V^i = \frac {\ dx^i} {\ dx^0}$ $\ V^i = \frac {\ dx^i} {\ dx^0}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/3/3c3f63976d8d268c5bc9fda8ac3530af82.png)
- назовем 3-скорость. Действительно, а почему не
![$\ V_i = \frac {\ dx^0} {\ dx^i}$ $\ V_i = \frac {\ dx^0} {\ dx^i}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/5/e355be772a352567d7aa14e218e7e9e982.png)
?
Потому что
![$\ V_i = \frac {\ dx^0} {\ dx^i}$ $\ V_i = \frac {\ dx^0} {\ dx^i}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/5/e355be772a352567d7aa14e218e7e9e982.png)
не являются компонентами вектора. В выражении
![$\sqrt{(1- V^2)}$ $\sqrt{(1- V^2)}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/6/256d0c26c1aa87309e47212a5222300182.png)
величина
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
является модулем именно вектора.
И еще один вопрос, может ли тело покоиться в пространстве Минковского, или все же оно движется вдоль оси времени? Со скоростью света?
В указанном Вами смысле - не может; временнАя координата тела меняется. Существует даже более сильное ограничение - мировая линия тел, которые мы можем наблюдать, такова, что соотношение проекций координат двух любых
различных мировых точек этой линии таково:
![$dt^2-dl^2\geqslant0$ $dt^2-dl^2\geqslant0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/6/7f6f65a39d7f0223f115ae67f4b987eb82.png)
, даже не
![$dt^2>0$ $dt^2>0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/7/5f7769bf11e55146ee113c7f4704a04082.png)
; при этом соотношение
![$dt^2=dl^2=0$ $dt^2=dl^2=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/b/90b9f513e3ef088852e42126969119bf82.png)
определяет не две различные, но одну и ту же мировую точку, а
![$dt^2=dl^2>0$ $dt^2=dl^2>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/2/ac211b80d45d7f8c7ba38e392de58ab782.png)
- две точки на мировой линии светового луча. Соотношение
![$dt^2-dl^2<0$ $dt^2-dl^2<0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/e/f8e3aef1d9fcde6f555648a0f7d686df82.png)
определяет пространственно-подобную линию, т.е. линию, проходящую через два события, не имеющие в любом случае причинно-следственной связи. Поэтому в указанном Вами смысле (
![$dt^2=0,\;dl^2>0$ $dt^2=0,\;dl^2>0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/f/eaf7d261a2e20c047a0bba4e0b7d010c82.png)
) "покоится" тело не может.
4-скорость движения тела равна по модулю единице. Физическая 3-скорость, очевидно, не превышает
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
.