Оптимизация с УЧП-ограничением

[Gortaur]

Есть задача: задан возрастающий функционал $A$, т.е. если $\phi\geq\psi$ то $A\phi\geq A\psi$. Еще есть линейный оператор (дифференциальный, второго порядка) $L$. Нужно решить задачу:

$$ A\phi\rightarrow\min $$

с условиями

$$ \phi(x)\geq h^2(x) $$

и

$$ L\phi\leq 0. $$

ясно, что если $Lh^2 \leq 0$, то $\phi = h^2$. Если же это не так, то у меня есть идея, что решение должно удовлетворять УЧП $L\phi = 0$, но ни доказать ни опровергнуть у меня не получается.

При доказательстве я использовал факт, что если для решения выполнено $L\phi <0$, то решение должно быть локальным минимумом задачи

$$ A\phi\rightarrow\min $$

с условием

$$ \phi(x)\geq h^2(x) $$

и следовательно быть равным $h^2$ - так как других минимумов локальных нет. Но тогда $L\h^2$ должно быть меньше либо равна нулю, чтобы это было решением всей задачи.

То есть если последнее условие не выполняется, то решение должно лежать на границе области $U = \{\phi|L\phi <0\}$. к сожалению, границей этой области является не $\{\phi|L\phi = 0\}$ а $\{\phi|\exists x:L\phi(x) = 0\}$.

Построить контрпример у меня тоже не получается даже в простейшем одномерном случае, то есть когда аргумент $x\in\mathbb{R}$.

Нужен либо контрпример либо литература по таким задачам, или может есть идеи насчет доказательства.

[terminator-II]

для того что бы эту задачу можно было обдумывать, Вам предстоит дописать еще столько подробностей, что даже их все перечислять неохота

[Gortaur]

Уважаемый терминатор, Ваше сообщение к сожалению бесполезно (абсолютно). Вы имеете ввиду, что я должен поставить задачу строго? Если да, то я поставлю. В противном случае если Вам перечислять неохота, я не понимаю почему Вам охота писать такие сообщения? Или Вы считаете это помощью? Никаких переходов на личности, просто я пишу для того, чтобы получить помощь а не для пустых комментариев. Думаю, это относится ко всему, что постится в данном разделе.

[terminator-II]

Gortaur в сообщении #340356 писал(а):

задан возрастающий функционал $A$

на каком пространстве задан? функционал линейный/нелинейный? действительнозначный ? непрерывный?

Gortaur в сообщении #340356 писал(а):

и $\phi\geq\psi$

это что? частичный порядок на пространстве? и т.д. и т.п.

[Gortaur]

Вот строгая постановка задачи.
Рассмотрим компакт (или область - как удобнее) $\Omega\in\mathbb{R}^n$ и множество функций $\phi\in C^2(\Omega)$. На последнем задан функционал $A:C^2(\Omega)\rightarrow\mathbb{R}$ со следующим свойством возрастания: если $\phi(x)\geq\psi(x) \quad \forall x\in\Omega$ то

$$A\phi\geq A\psi.$$

Кроме того, задана функция $h:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ из того же класса и линейный дифференциальный оператор 2-го порядка $L$ (не обязательно эллиптический). Задача следующая:

$$A\phi \rightarrow\min$$

$$\phi(x) \geq h^2(x) \quad \forall x\in\Omega$$

$$L\phi(x) &\leq 0 \quad\forall x\in\Omega$$

Очевидно, что если $L h^2(x)\leq 0\quad\forall x\in\Omega$, то $h^2$ и есть решение данной задачи. В противном случае у меня есть идея, что для решения должно быть выполнено уравнение $L\phi = 0$. Пока мне удалось лишь только показать, что $L\phi(x) = 0$ по крайней мере в одной точке $x\in\Omega$, и пользы в этом немного. С другой стороны, мне не удалось построить контрпример даже в случае когда $\Omega = [0,1]$ - всегда получается, что минимум достигается либо на $h^2$ либо на решении уравнения $L\phi = 0 \quad \forall x$.

Есть ли литература по такому типа задач? Или может есть идеи как построить контрпример или наоборот, провести доказательство?

[Gortaur]

terminator-II
Скажите, если Вам не было толку от строгости формулировки задачи, стоило ли вообще сюда писать?

[terminator-II]

Во-первых, корректно формулировать вопрос следует независимо от того получите Вы на него ответ или нет. Точно также как чистить зубы и мыть голову следует не только тогда, когда Вы отправляетесь на свидание.
Во-вторых, мне кажется, что никаких содержательных результатов Вы на таком уровне общности не получите. Нужно конкретизировать операторы $L$ и $A$.

[Gortaur]

Словом, общей теории по такому типу задач нет?

[terminator-II]

ну разве, что
Лионс Оптимальное управление системами описываемыми уравнениями с частными производными
может поможет

[Gortaur]

Спасибо, загляну туда. Вообще образовался интересный метод через теор вер для решения таких задач.