Возведение в степень

[ewert]

STilda в сообщении #339967 писал(а):

ewert в сообщении #339955 писал(а):

Не аксиомой, а определением, это две очень большие разницы.

В чем же вы видите разницу (в случае с возведением в комплексную степень)?

Разница принципиальна. Определяются -- новые объекты исходя из уже существующих путём наложения некоторых требований. Аксиомы же -- именно требования и есть (хотя и не любое требование называют аксиомой), но вовсе не объекты.

А вот экспонента -- это именно объект. И экспонента от комплексного числа -- объект по отношению к вещественной экспоненте принципиально новый.

STilda в сообщении #339967 писал(а):

Такое я знаю.. Но... Где логика? Хочу я узнать чему равно число $e^i$. Это какие нужно делать рассуждения, чтоб вдруг прийти к производным функций? Объясните мне необходимость в производных для вычисления $e^i$

Вот именно: где же логика?... почему Вам приспичило знать число именно $e$, и именно в степени $i$?... почему, скажем, не $\pi^{i\sqrt2}$?...

Прежде отвечать на этот вопрос, подумайте: а что такое вообще $e$? Зачем оно? И, между прочим: а что такое вообще возведение в степень (произвольную)?...

[gris]

Для меня было шоком узнать, что синус может быть больше 1. Выходит, зря потешались над военруком в выцветшем кителе?
В действительных числах можно хоть как-то привязать синус к углу. А что такое $\sin (2+4i)$? Опять ряды, опять единственность аналитического продолжения.
И со степенями та же штука. Выходит, надо смириться и принять как неизбежное.

[STilda]

ewert в сообщении #339977 писал(а):

Вот именно: где же логика?... почему Вам приспичило знать число именно , и именно в степени ?... почему, скажем, не ?...Прежде отвечать на этот вопрос, подумайте: а что такое вообще ? Зачем оно? И, между прочим: а что такое вообще возведение в степень (произвольную)?...

Точно. Почему собственно $e$? Давайте возьмем $2^i$. Должно ли $2^{i1}$ вычисляться или же быть новый элементом, таким же как $2^{-1}$?

"Что такое возведение в степень" вопрос непростой . Я вижу два аспекта этой операции. Первый - для натуральной степени - по смыслу означает умножение объекта самого на себя некоторое число раз. Второй - для отрицательной, мнимой, (любой гиперкомплексной) степени - это имеет совсем другой смысл - расширение алгебраической системы новыми элементами. Так, мы ввели понятие обратного для $a$ элемента $1/a$. Само деление - примитивный случай возведения в степень, когда для степеней берется $+1,-1,0$

[ewert]

STilda в сообщении #340157 писал(а):

Первый - для натуральной степени - по смыслу означает умножение объекта самого на себя некоторое число раз. Второй - для отрицательной, мнимой, (любой гиперкомплексной) степени - это имеет совсем другой смысл - расширение алгебраической системы новыми элементами.

"Второй" -- это Вы смешали всё в кучу. Побудительные мотивы там совершенно разные. Вот для начала призадумайтесь: на каком основании мы определяем $a^{-1}$ именно как ${1\over a}$? Чего мы, собственно, хотим от операции степени, что заставляет нас доопределять понятие степени на отрицательные показатели именно таким образом?...

Потом -- можете задуматься о мотивах доопределения на рациональные показатели, они будут уже другими. На вещественные -- совсем третьи, не имеющие ничего общего с первыми двумя. Ну а на комплексные -- и вовсе четвёртыми.

[STilda]

gris Впринципе, довольно интересно, понятие производной всплывает, когда разговор идет о числах.
Кстати, для приверженцев мыслей о единственности аналитического продолжения. Есть такое наблюдение у меня. Понятие производной это искусственная конструкция, в которой используется дробь. Примитивная дробь. В том смысле, что используется всего лишь понятие обратного элемента $a^{-1}$. Это можно расширить используя дроби с другими степенями, например $a^i$. Понятие производной (аналитичности) меняется. Аналитическое продолжение может оказаться другим...

-- Ср июл 21, 2010 11:39:07 --

ewert в сообщении #340158 писал(а):

Вот для начала призадумайтесь: на каком основании мы определяем $a^{-1}$ именно как ${1\over a}$? Чего мы, собственно, хотим от операции степени, что заставляет нас доопределять понятие степени на отрицательные показатели именно таким образом?...

Вопрос хороший. Тоесть почему степень $a^{-1}$ взяли как деление $1/a$?

[ewert]

gris в сообщении #339985 писал(а):

Опять ряды, опять единственность аналитического продолжения.

Не совсем так. Синусы совершенно естественным образом доопределяются на комплексные числа через формулу Эйлера. Аналитического продолжения тут не нужно. А нужно оно потом -- из его единственности следует, что все тригонометрические формулы сохраняют силу и в комплексной плоскости.

[STilda]

Я думаю при натуральных степенях, при умножении степени складываются $a^m*a^n=a^{m+n}$. Это правило мы хотим распространить на целые числа тоже. Примерно так наверное. Я не уверен. Почему?

[ewert]

STilda в сообщении #340161 писал(а):

Я думаю при натуральных степенях, при умножении степени складываются $a^m*a^n=a^{m+n}$. Это правило мы хотим распространить на целые числа тоже. Примерно так наверное.

Правильно. Теперь думайте дальше, про дальнейшие обобщения.

[STilda]

ewert в сообщении #340158 писал(а):

Потом -- можете задуматься о мотивах доопределения на рациональные показатели, они будут уже другими.

На рациональные - для решения уравнения с натуральной сетпенью $x^n=a$. Здесь также позаимствовано из опыта на натуральных степенях то, что $(a^b)^c=a^{b*c}$

[ewert]

STilda в сообщении #340165 писал(а):

На рациональные - для решения уравнения с натуральной сетпенью $x^n=a$. Здесь также позаимствовано из опыта на натуральных степенях то, что $(a^b)^c=a^{b*c}$

Тоже верно, но тут уже всё менее безобидно. Это Вы объяснили, почему нам хочется, чтобы было $a^{1\over n}=\sqrt[n]{a}$; а почему можется?... Если до сих пор мы обходились лишь аксиомами поля, то здесь мы уже вынуждены рассматривать возведение в степень не просто как операцию, а как функцию.
(Правда, дальнейшая логика -- пока ещё ровно та же, что и в предыдущем пункте: если существование корня всё-таки доказано, то корректность определения следует уже только из аксиом.)

[STilda]

На вещественные - из соображений непрерывности чтобы покрыть всю область определения.

Для комплексных - думаю это связано с парой операций - логарифмирования и потенциирования. Опять же, на положительных числах (на чистых количествах) увидели, что $log(a^b)=b*log(a)$. Потом взяли и вместо количества подставили качество $i$ и поехали рассматривать $i*log(b),log(b^i)$. Тут и начались проблемы...

-- Ср июл 21, 2010 12:49:29 --

ewert в сообщении #340167 писал(а):

STilda в сообщении #340165 писал(а):

На рациональные - для решения уравнения с натуральной сетпенью $x^n=a$. Здесь также позаимствовано из опыта на натуральных степенях то, что $(a^b)^c=a^{b*c}$

Тоже верно, но тут уже всё менее безобидно. Это Вы объяснили, почему нам хочется, чтобы было $a^{1\over n}=\sqrt[n]{a}$; а почему можется?... Если до сих пор мы обходились лишь аксиомами поля, то здесь мы уже вынуждены рассматривать возведение в степень не просто как операцию, а как функцию.

Зачем нужна функция?

[ewert]

STilda в сообщении #340169 писал(а):

На вещественные - из соображений непрерывности чтобы покрыть всю область определения.

Вот именно. И обращаю внимание, что это уже -- логика совсем другая, чем для рациональных показателей, не имеющая ничего общего с алгебраическими свойствами.

Насчёт комплексных показателей. Поначалу мы снова возвращаемся к алгебре. Если мы хотим, чтобы сохранялись свойства $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$ и $\left(a^b\right)^c=a^{bc}$, то отсюда сразу следуют две вещи: 1) что достаточно определять $a^{ix}$ и 2) что достаточно рассматривать только какое-то одно конкретное $a$ (поскольку любое основание сводится к любому другому логарифмированием). Ну вот, скажем, выберем для определённости основание $e$. А теперь -- принципиальный вопрос: а чем именно число $e$ выделяется среди всех других оснований?...

И вновь, и даже ещё в большей степени, чем в вещественном случае -- никакие ранее использовавшиеся соображания тут не помогут, надо привлечь что-то новенькое. Что именно?...

-- Ср июл 21, 2010 13:01:07 --

STilda в сообщении #340169 писал(а):

Зачем нужна функция?

А откуда следует, что корень вообще существует?...
(только из аксиом числового поля это никак не следует -- скажем, в пределах рациональных оснований это и неверно)

[STilda]

ewert в сообщении #340173 писал(а):

А откуда следует, что корень вообще существует?...(только из аксиом числового поля это никак не следует -- скажем, в пределах рациональных оснований это и неверно)

А как же нам функция даст его существование? Мы же добавляем новый элемент в наше множество элементов $\sqrt[n]{a}$ и так его и обозначаем. А коль мы его добавили и он там есть то зачем нам функция?

[ewert]

STilda в сообщении #340185 писал(а):

А как же нам функция даст его существование? Мы же добавляем новый элемент в наше множество элементов $\sqrt[n]{a}$ и так его и обозначаем.

Ничего подобного, мы никакого "нового элемента" не добавляем. Потому что если мы формально добавим только корни, то никакого поля не получим -- это множество не будет замкнутым относительно даже операции сложения. А чтобы его замкнуть, потребуется ввести понятие "алгебраических чисел", но это очень, очень, очень долгая история. Нормальные люди поступают гораздо проще -- рассматривают сразу все вещественные основания (положительные, конечно). И доказывают, что на множестве вещественных чисел любой корень определён, причём однозначно. А для осмысленного доказательства этого факта надо просто применить теорему Больцано-Коши к функции $f(x)=x^n$ (можно, правда, извратиться и обойтись без функций, но это будет извращением).

[STilda]

Но чтобы получить вещественные числа, рациональные числа проходят процедуру пополнения - добавления новых элементов, через последовательности, пределы и все такое. И потом уже эти новые элементы и используются в теоремах, где работают "по непрерывности".
???

-- Ср июл 21, 2010 14:45:54 --

ewert в сообщении #340189 писал(а):

Ничего подобного, мы никакого "нового элемента" не добавляем. Потому что если мы формально добавим только корни, то никакого поля не получим -- это множество не будет замкнутым относительно даже операции сложения.

Я не говорил про то, что мы пополняем взяв функцию корня. Мы произвели пополнение еще до функции.