Возведение в степень

[ewert]

Shtirlic в сообщении #339747 писал(а):

То есть выходит, что как определение ввели только мнимую единицу, а остальное уже было доказанно? Такой вывод, собственно, и напрашиваеться,

Это он совершенно напрасно напрашивается. История математики -- вовсе не обязательно соответствует её внутренней логике, зачастую и напротив, и вот это как раз -- достаточно яркий пример.

"Мнимая единица" -- появилась в обиходе лет эдак за двести до Эйлера. Т.е. Эйлер к ней уже просто привык. Привык обходиться с ней вполне непринуждённо, даже и не зная толком, что это такое. И получать при этом полезные результаты. Строгая же формализация комплексных чисел появилась уже существенно позже, лет через пятьдесят после Эйлера. Не без его влияния, естественно.

История математики -- нелинейна.

[Shtirlic]

ewert в сообщении #339751 писал(а):

Shtirlic в сообщении #339747 писал(а):

То есть выходит, что как определение ввели только мнимую единицу, а остальное уже было доказанно? Такой вывод, собственно, и напрашиваеться,

Это он совершенно напрасно напрашивается. История математики -- вовсе не обязательно соответствует её внутренней логике, зачастую и напротив, и вот это как раз -- достаточно яркий пример.

"Мнимая единица" -- появилась в обиходе лет эдак за двести до Эйлера. Т.е. Эйлер к ней уже просто привык. Привык обходиться с ней вполне непринуждённо, даже и не зная толком, что это такое. И получать при этом полезные результаты. Строгая же формализация комплексных чисел появилась уже существенно позже, лет через пятьдесят после Эйлера. Не без его влияния, естественно.

История математики -- нелинейна.

Никогда не думал, что в математике, что-то принимается без строгого доказательства! А тут вон оно как и интуицией обходяться временами!=)

[ewert]

Shtirlic в сообщении #339753 писал(а):

! А тут вон оно как и интуицией обходяться временами!=)

Естественно. Тот же Дирак -- чёрт-те когда сочинил свою дельта-функцию, и была она всем интуитивно понятна и чертовски полезна, и лишь потом, потом, очень потом строго формализована. Но физикам это было уж не так уж и интересно.

[Shtirlic]

Возращаясь к нашей теме. Как я понимаю все связанное с формулой Эйлера уже доказанно из основных аксиом, а следовательном им не противоречит, следовательно не может протеворечить другим теоремам (и т.п.) основанных на этих же аксиомах.

[ewert]

нету никаких аксиом насчёт возведения в степень, решительно нету. Потому и непонятно, об чём, собссно, речь.

[Shtirlic]

ewert в сообщении #339757 писал(а):

нету никаких аксиом насчёт возведения в степень, решительно нету. Потому и непонятно, об чём, собссно, речь.

Я так понимаю, что степень - это определение, которое было введено, в русле каких-то аксиом.

[ewert]

Shtirlic в сообщении #339761 писал(а):

Я так понимаю, что степень - это определение, которое было введено, в русле каких-то аксиом.

да, как естественное продолжение аксиоматической операции умножения. И -- не более того.

[STilda]

Shtirlic в сообщении #339720 писал(а):

Только вопрос в том, что взяли тогда за определение, что разложение функции в ряд тейлора одинаково, что при комплексном, что при действитеьном аргументе? Или это тоже доказано?

Вобщем то уже все сказали.
За определение взято то, что ряд $1+x+{x^2}/ {2!}+ {x^3}/ {3!}+...$ для мнимых $x$ равен $e^x$. Это нельзя доказать. Это можно постулировать, как сделал Эйлер.
Можно доказать, что ряд сходится, и что это будет "хорошее" продолжение с действительных на комплексные числа, как сказал Someone. (Но это не продолжение $e^x$, это продолжение ряда.)
По определению $e=\lim{(1+1/n)^n}}$. Для положительных степеней $m$ $e^m=(\lim{(1+1/n)^n}})^m=\lim{(1+m/(mn))^{mn}}}=\lim{(1+m/k)^k}}$. $mn=k$ $k$- положительное. Поэтому можно возвести в степень $(1+m/k)^k$ по биному Ньютона и получить ряд. Если же $m$ - комплексное то на этом этапе нельзя возвести в степень, тоесть получить ряд нельзя.

[Shtirlic]

STilda в сообщении #339871 писал(а):

Shtirlic в сообщении #339720 писал(а):

Только вопрос в том, что взяли тогда за определение, что разложение функции в ряд тейлора одинаково, что при комплексном, что при действитеьном аргументе? Или это тоже доказано?

Вобщем то уже все сказали.
За определение взято то, что ряд $1+x+{x^2}/ {2!}+ {x^3}/ {3!}+...$ для мнимых $x$ равен $e^x$. Это нельзя доказать. Это можно постулировать, как сделал Эйлер.
Можно доказать, что ряд сходится, и что это будет "хорошее" продолжение с действительных на комплексные числа, как сказал Someone. (Но это не продолжение $e^x$, это продолжение ряда.)
По определению $e=\lim{(1+1/n)^n}}$. Для положительных степеней $m$ $e^m=(\lim{(1+1/n)^n}})^m=\lim{(1+m/(mn))^{mn}}}=\lim{(1+m/k)^k}}$. $mn=k$ $k$- положительное. Поэтому можно возвести в степень $(1+m/k)^k$ по биному Ньютона и получить ряд. Если же $m$ - комплексное то на этом этапе нельзя возвести в степень, тоесть получить ряд нельзя.

Если же $k$ - иррационально, вы тоже ничего в ряд не разложете.

-- Пн июл 19, 2010 19:38:04 --

А из слов Someone выходи, что разложимость $e^x$ в ряд Тейлора доказана.

[Someone]

STilda в сообщении #339871 писал(а):

Можно доказать, что ряд сходится, и что это будет "хорошее" продолжение с действительных на комплексные числа, как сказал Someone. (Но это не продолжение $e^x$, это продолжение ряда.)

STilda, как было бы хорошо, если бы Вы, не разбираясь в вопросе, не писали ерунды.
Из теоремы единственности регулярной функции следует, что функция $e^x$ может иметь не более одного продолжения (с сохранением дифференцируемости) с действительной оси в комплексную область. Поэтому достаточно предъявить любое продолжение. Будет ли оно предъявлено в виде ряда, в виде формулы Эйлера, в виде интеграла, в виде предела или ещё в каком-нибудь виде - не имеет значения. В силу теоремы единственности все эти продолжения совпадают. В частности, и ряд, и формула Эйлера дают одну и ту же функцию, поэтому доказывать дополнительно, что ряд даёт именно показательную функцию, или что выражение $e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$, где $z=x+yi$, можно разложить в степенной ряд (и что ряд именно такой), совершенно не требуется. Хотя при желании такое доказательство можно сделать.

[ewert]

Shtirlic в сообщении #339873 писал(а):

STilda в сообщении #339871 писал(а):

Shtirlic в сообщении #339720 писал(а):

А из слов Someone выходи, что разложимость $e^x$ в ряд Тейлора доказана.

Доказано, доказано, и не сумлевайтесь. Для вещественных аргументов -- 100%. И сходимость того же ряда для комплексных аргументов -- тоже вполне доказана. Что и даёт основания доопределить экспоненту на комплексные аргументы именно таким образом.

Вам не нравится именно этот способ обобщения?... - ну так предложите другой. Который хоть как-то согласовывался бы хоть с каким-то здравым смыслом (а доопределять так или иначе -- всё равно придётся). Между прочим, другие способы (точнее,другие исходные позиции) действительно существуют. Только вот почему-то -- дают ровно тот же результат...

[STilda]

ewert в сообщении #339880 писал(а):

И сходимость того же ряда для комплексных аргументов -- тоже вполне доказана. Что и даёт основания доопределить экспоненту на комплексные аргументы именно таким образом.

Я и не спорю с тем что сходимость ряда доказана. Я говорю про то, что невозможно доказать, что этот ряд равен $e^x$. Это доказывается только для вещественных чисел. Для случая комплексного $x$ значение ряда $1+x+x^2/2!+x^3/3!+...$ ОБОЗНАЧАЕТСЯ как $e^x$. И это обозначение является аксиомой, которая вводит возведение в комплексную степень. Если я попрошу посчитать $e^i$ вы никогда в жизни не обойдете этот ряд стороной. Вы всегда будете его использовать, прямо или косвенно. Точно также, если взять $H$ - квадратную матрицу, ряд $1+H+H^2/2!+H^3/3!+...$ обозначили для краткости как $e^H$. Или вы мне будете доказывать, что $e^H$ можно вычислить не используя этого ряда (или ему эквивалентных)?

[Shtirlic]

STilda
Вещественные числа, подмножество комплексных чисел. И если вещественное число воспринимать, как комплексное то и формула Эйлера выполняется, и все остальное.
И собственно зачем обходить ряд? Очень многое доказано с помощью рядов. Я не думаю, что есть доказательство достаточного условия экстремума функции многих переменных без рядов.

[ewert]

STilda в сообщении #339931 писал(а):

Для случая комплексного $x$ значение ряда $1+x+x^2/2!+x^3/3!+...$ ОБОЗНАЧАЕТСЯ как $e^x$. И это обозначение является аксиомой, которая вводит возведение в комплексную степень.

Не аксиомой, а определением, это две очень большие разницы. Хотите другое определение, никак не связанное с рядами?... -- Пожалуйста: $f(t)=e^{\lambda t}$ -- это (единственное) решение дифференциального уравнения $f'(t)=\lambda\,f(t)$, удовлетворяющее начальному условию $f(0)=1$. И это определение -- в некоторых отношениях даже более идейно, чем через ряды.

STilda в сообщении #339931 писал(а):

Точно также, если взять $H$ - квадратную матрицу, ряд $1+H+H^2/2!+H^3/3!+...$ обозначили для краткости как $e^H$. Или вы мне будете доказывать, что $e^H$ можно вычислить не используя этого ряда (или ему эквивалентных)?

Вы удивитесь, но -- да. Матричная экспонента вполне эффективно и безо всяких рядов вычисляется через жорданову форму. И опять же: матричную экспоненту можно альтернативно определить как решение системы дифференциальных уравнений. И уж вот как раз для матриц-то именно такое определение, безусловно, и является наиболее идейным, а что это ещё и ряд -- это уже технические детали.

[STilda]

ewert в сообщении #339955 писал(а):

Не аксиомой, а определением, это две очень большие разницы.

В чем же вы видите разницу (в случае с возведением в комплексную степень)?

-- Вт июл 20, 2010 11:30:36 --

ewert в сообщении #339955 писал(а):

Хотите другое определение, никак не связанное с рядами?... -- Пожалуйста: -- это (единственное) решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . И это определение -- в некоторых отношениях даже более идейно, чем через ряды.

Такое я знаю.. Но... Где логика? Хочу я узнать чему равно число $e^i$. Это какие нужно делать рассуждения, чтоб вдруг прийти к производным функций? Объясните мне необходимость в производных для вычисления $e^i$

-- Вт июл 20, 2010 11:34:20 --

Про Жорданову форму я посмотрю, спасибо.

Цитата:

Матричная экспонента вполне эффективно и безо всяких рядов вычисляется через жорданову форму

Вычисляется или вводится как понятие?