Как сформулировать задачу двух тел в электродинамике

[В. Войтик]

myhand в сообщении #339994 писал(а):

Простите, но гамильтониан от импульсов зависит вообще-то.

Зависимость скоростей от импульсов линейна. В первом порядке надо просто заменить в $E_1$, $E_2$ и в магнитной добавке к энергии $E_m$ скорости на
$\mathbf{v_1}=\frac{\mathbf{p_1}}{m_1}$
$\mathbf{v_2}=\frac{\mathbf{p_2}}{m_2}$
и получится гамильтониан. Это знак в добавке не изменит.

myhand в сообщении #339994 писал(а):

Делаем нормальное преобразование Лежандра (которое строго говоря даже неединственно получается - там для скоростей кубические уравнения) - получаем гамильтониан. А не то, что Вы назвали "вычисляется обычным образом".

Откуда у Вас получились кубические уравнения?

myhand в сообщении #339994 писал(а):

Не говоря уже о том, что после преобразования Лежандра нужно еще определенные приближения сделать - иначе никакого полиноминального по импульсам гамильтониана Вы не получите... Классики не зря "схитрили" и пошли по другому пути.[/off]

ПМСМ первоначального предположения о медленности частиц совершенно достаточно.

[myhand]

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #340001 писал(а):

myhand в сообщении #339994 писал(а):

Простите, но гамильтониан от импульсов зависит вообще-то.

Зависимость скоростей от импульсов линейна. В первом порядке надо просто заменить в $E_1$, $E_2$ и в магнитной добавке к энергии $E_m$ скорости на
$\mathbf{v_1}=\frac{\mathbf{p_1}}{m_1}$
$\mathbf{v_2}=\frac{\mathbf{p_2}}{m_2}$
и получится гамильтониан. Это знак в добавке не изменит.

Не в первом, а в нулевом. Если Вы так собираетесь подставлять импульс в кинетические части - это неправильно.

В. Войтик в сообщении #340001 писал(а):

myhand в сообщении #339994 писал(а):

Делаем нормальное преобразование Лежандра (которое строго говоря даже неединственно получается - там для скоростей кубические уравнения) - получаем гамильтониан. А не то, что Вы назвали "вычисляется обычным образом".

Откуда у Вас получились кубические уравнения?

Оттуда... Какая самая большая степень скорости в лагранжиане? Четвертая.

В. Войтик в сообщении #340001 писал(а):

myhand в сообщении #339994 писал(а):

Не говоря уже о том, что после преобразования Лежандра нужно еще определенные приближения сделать - иначе никакого полиноминального по импульсам гамильтониана Вы не получите... Классики не зря "схитрили" и пошли по другому пути.

ПМСМ первоначального предположения о медленности частиц совершенно достаточно.

Не понял. Это предположение как раз приводит к тому, что мы не обязаны удерживать в получившемся гамильтониане все части - можем сделать разложение в ряд по импульсам и т.п. Другое дело, что всю эту муть с честным преобразованием Лежандра etc можно заменить простым фокусом, сделанным в ЛЛ для получения гамильтониана Дарвина.

[В. Войтик]

Да, конечно. Попробуем теперь честно посчитать гамильтониан Дарвина.
Значит импульсы частиц будут иметь вид
$\mathbf{p_1}=m_1\mathbf{v_1}+ \frac{1}{2}m_1v_1^2\mathbf{v_1}+\frac{e_1e_2}{2R_{12}}(\mathbf{v_2+(v_2n_{12})n_{12}})$
$\mathbf{p_2}=m_2\mathbf{v_2}+ \frac{1}{2}m_2v_2^2\mathbf{v_2}+\frac{e_1e_2}{2R_{12}}(\mathbf{v_1+(v_1n_{12})n_{12}})$
Отсюда
$\mathbf{v_1}=\frac{\mathbf{p_1}}{m_1}- \frac{1}{2m_1^3}p_1^2\mathbf{p_1}-\frac{e_1e_2}{2m_1m_2R_{12}}(\mathbf{p_2+(p_2n_{12})n_{12}})$
$\mathbf{v_2}=\frac{\mathbf{p_2}}{m_2}- \frac{1}{2m_2^3}p_2^2\mathbf{p_2}-\frac{e_1e_2}{2m_1m_2R_{12}}(\mathbf{p_1+(p_1n_{12})n_{12}})$
Значит
$\mathbf{p_1v_1+p_2v_2}=\frac{p_1^2}{m_1}+\frac{p_2^2}{m_2}-\frac{p_1^4}{2m_1^3}-\frac{p_2^4}{2m_2^3}-\frac{e_1e_2}{m_1m_2R_{12}}(\mathbf{p_1p_2+(p_1n_{12})(p_2n_{12})})$
Кроме того
$\frac{m_1}{2}v_1^2=\frac{p_1^2}{2m_1}- \frac{p_1^4}{2m_1^3}-\frac{e_1e_2}{2m_1m_2R_{12}}(\mathbf{p_1p_2+(p_1n_{12})(p_2n_{12})})$
$\frac{m_2}{2}v_2^2=\frac{p_2^2}{2m_2}- \frac{p_2^4}{2m_2^3}-\frac{e_1e_2}{2m_1m_2R_{12}}(\mathbf{p_1p_2+(p_1n_{12})(p_2n_{12})})$
Вторые и третьи члены в правой части везде - малые поправки.
Следовательно лагранжиан выраженный через импульсы будет
$L=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}-\frac{3p_1^4}{8m_1^3}-\frac{3p_2^4}{8m_2^3}-\frac{e_1e_2}{R_{12}}-\frac{e_1e_2}{2m_1m_2R_{12}}(\mathbf{p_1p_2+(p_1n_{12})(p_2n_{12})})$
Значит гамильтониан Дарвина есть
$H=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}-\frac{p_1^4}{8m_1^3}-\frac{p_2^4}{8m_2^3}+\frac{e_1e_2}{R_{12}}-\frac{e_1e_2}{2m_1m_2R_{12}}(\mathbf{p_1p_2+(p_1n_{12})(p_2n_{12})})$
Это обычное выражение (65.8) .Всё в порядке.
Зачем же ЛЛ хитрили?

-- Вт июл 20, 2010 16:02:26 --

Хм. Тогда я не понимаю McDonald. В чём же здесь парадоксы?

[myhand]

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #340021 писал(а):

Зачем же ЛЛ хитрили?

Ну, можно было бы и тупо посчитать. "Хитрили" - чтобы правильный результат можно было получить из несложных вычислений. Логично, правда?

В. Войтик в сообщении #340021 писал(а):

Хм. Тогда я не понимаю McDonald. В чём же здесь парадоксы?

Вы сами привели ссылку - Вам и отвечать.

[В. Войтик]

(Оффтоп)

myhand в сообщении #340044 писал(а):

Ну, можно было бы и тупо посчитать. "Хитрили" - чтобы правильный результат можно было получить из несложных вычислений. Логично, правда?

По-моему - нет. Мне кажется - это нечестно. Здесь есть какой-то существенный элемент везения. Если ввести какое-то новое математическое правило вычисления чего-либо, то можно зная ответ, что угодно вывести используя только арифметические операции.

[myhand]

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #340050 писал(а):

myhand в сообщении #340044 писал(а):

Ну, можно было бы и тупо посчитать. "Хитрили" - чтобы правильный результат можно было получить из несложных вычислений. Логично, правда?

По-моему - нет. Мне кажется - это нечестно. Здесь есть какой-то существенный элемент везения. Если ввести какое-то новое математическое правило вычисления чего-либо, то можно зная ответ, что угодно вывести используя только арифметические операции.

Если любой сколь-либо нетривиальный прием записывать в "везение" - книжки будет неинтересно читать (будут километровые выкладки вместо простого замечания с отсылкой к "Механике"). ЛЛ строго обосновали получение гамильтониана Дарвина. Если сделано это "не в лоб" - то это не проблема авторов. Скорее - читателей. Нужно просто дать себе труда понять.

[В. Войтик]

(Оффтоп)

myhand в сообщении #340123 писал(а):

Если любой сколь-либо нетривиальный прием записывать в "везение" - книжки будет неинтересно читать (будут километровые выкладки вместо простого замечания с отсылкой к "Механике"). ЛЛ строго обосновали получение гамильтониана Дарвина. Если сделано это "не в лоб" - то это не проблема авторов. Скорее - читателей. Нужно просто дать себе труда понять.

Да.

Всё-таки я думаю возможно найти некий лагранжиан описывающий произвольное релятивистское движение системы частиц. При этом лагранжиан Дарвина должен быть частным случаем.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #340170 писал(а):

Всё-таки я думаю возможно найти некий лагранжиан описывающий произвольное релятивистское движение системы частиц. При этом лагранжиан Дарвина должен быть частным случаем.

Не очень понятна логика. Лагранжиан Дарвина не описывает "произвольное релятивистское движение системы частиц" в принципе. Это просто приближенное выражение (в котором нарушаются определенные симметрии, например галилеева или лоренцева инвариантность справедлива только приближенно), позволяющее поставить задачу в рамках соответствующего приближения - как чисто механическую.

Я отвечал на Ваши выссказывания по гамильтониану Дарвина только потому, что Вы утверждали о наличии каких-то "проблем" с ним. Как выяснилось, что проблемы похоже лишь от непонимания и сравнительно тривиальных ошибок - предлагаю прекратить оффтопик.

Второе. "Думаю возможно" - это не аргумент даже. Невозможно. В физически интересных случаях (теория Уилера-Фейнмана или обычная электродинамика Максвелла-Лоренца с запаздывающими потенциалами и радиационным торможением). Разумеется, есть задачи двух тел и даже $N$ тел (типа предложенных Хиллом или Гайдой, см. http://arxiv.org/abs/hep-th/9812125v1) - в которых подобное "возможно". Только это нефизические примеры, включающие опережающие взаимодействия, несимметричное взаимодействие частиц и т.п.

[В. Войтик]

myhand в сообщении #340176 писал(а):

Не очень понятна логика. Лагранжиан Дарвина не описывает "произвольное релятивистское движение системы частиц" в принципе.

Само собой. Другого я и не говорил.

Цитата:

Это просто приближенное выражение (в котором нарушаются определенные симметрии, например галилеева или лоренцева инвариантность справедлива только приближенно), позволяющее поставить задачу в рамках соответствующего приближения - как чисто механическую.

Конечно.

Цитата:

Я отвечал на Ваши выссказывания по гамильтониану Дарвина только потому, что Вы утверждали о наличии каких-то "проблем" с ним.

Пожалуйста приведите ссылку на это моё высказывание.

Цитата:

Как выяснилось, что проблемы похоже лишь от непонимания и сравнительно тривиальных ошибок - предлагаю прекратить оффтопик.

Свои ошибки я для себя уже прояснил. Тема о задаче 2 тел. Задача Дарвина есть частный случай этой задачи, поэтому - это не оффтопик.

Цитата:

Второе. "Думаю возможно" - это не аргумент даже. Невозможно.

Разумеется это пока только слова. Я попробую это сделать, а Вы потом покритикуете. Хорошо?

Цитата:

В физически интересных случаях (теория Уилера-Фейнмана или обычная электродинамика Максвелла-Лоренца с запаздывающими потенциалами и радиационным торможением). Разумеется, есть задачи двух тел и даже $N$ тел (типа предложенных Хиллом или Гайдой, см. http://arxiv.org/abs/hep-th/9812125v1) - в которых подобное "возможно". Только это нефизические примеры, включающие опережающие взаимодействия, несимметричное взаимодействие частиц и т.п.

Нет, я думаю лагранжиан конечно должен быть и симметричным и опережающего в/д не должно быть.

[myhand]

В. Войтик в сообщении #340241 писал(а):

myhand в сообщении #340176 писал(а):

Я отвечал на Ваши выссказывания по гамильтониану Дарвина только потому, что Вы утверждали о наличии каких-то "проблем" с ним.

Пожалуйста приведите ссылку на это моё высказывание.

Вот.

В. Войтик в сообщении #340241 писал(а):

Разумеется это пока только слова. Я попробую это сделать, а Вы потом покритикуете. Хорошо?
....

Нет, я думаю лагранжиан конечно должен быть и симметричным и опережающего в/д не должно быть.

Кто-ж Вам запретит сделать :) Пожалуйста. Хотя особой критики не обещаю (лень): то что подобное невозможно - давно известный результат (теорема об отсутствии взаимодействия).

[В. Войтик]

(Оффтоп)

myhand в сообщении #340252 писал(а):

Вот..

Ну и где я говорил о "проблеме"? Я сказал только, что мне не ясно.