Линейные пространства. Вектор, не лежащий в n подпростран...

[Сергей Михайлов]

В ходе одного исследования возникла следующая проблема.
Пусть есть линейное пространство L (бесконечномерное; например, кольцо многочленов с рациональными коэффициентами от многих переменных) над полем рациональных чисел. Даны A_1, ..., A_n - некоторые подпространства L и вектора v_1, ..., v_n такие, что v_i \notin A_i, \, i=1, \ldots, n. Требуется построить вектор v, являющийся линейной комбинацией векторов v_i с целыми коэффициентами, и не лежащий ни в одном из подпространств A_i.
Такой вектор построить можно. Пусть v = a_1v_1 + \ldots + a_nv_n - одна из комбинаций, удовлетворяющих условию. Проблема в том, чтобы оценить величину коэффициентов в этой линейной комбинации. Например, верно ли, что можно построить комбинацию, коэффициенты которой только нули и единицы?

P.S. Я умею строить линейную комбинацию, для которой коэффициенты неотрицательны и не превосходят n.

[Руст]

Да можно, легко доказывается по индукции.

[Сергей Михайлов]

Руст писал(а):

Да можно, легко доказывается по индукции.

доказательство в студию.

[Руст]

Пусть это верно при n<N (первый шаг очевиден). Если найдется соответствующая комбинация векторов сумма которых не принадлежит и последнему подпространству, то доказывать ничего. Иначе рассматривать это с векторами $w_k=v_k, k\not =j, w_j=v_j+v_N, v_N\in A_j$ при разных j. Найдём сумму из некоторых таких векторов, не принадлежащий не одному из подпространств. Тогда он удовлетворяет этому свойству.

[Сергей Михайлов]

Руст писал(а):

Пусть это верно при n<N (первый шаг очевиден). Если найдется соответствующая комбинация векторов сумма которых не принадлежит и последнему подпространству, то доказывать ничего. Иначе рассматривать это с векторами $w_k=v_k, k\not =j, w_j=v_j+v_N, v_N\in A_j$ при разных j. Найдём сумму из некоторых таких векторов, не принадлежащий не одному из подпространств. Тогда он удовлетворяет этому свойству.

Можно найти линейную комбинацию w_k, не лежащую в первых N-1 подпространствах. Почему она не лежит в A_N? И разве коэффициент при v_n получится либо ноль, либо 1?

[lofar]

Линейной комбинации с коэффициентами из $\{0,1\}$ может и не найтись. Расмотрим в $\mathbb R^3$ три подпространства $A_1=\{(a,a,b)\colon a,b\in\mathbb R\}$, $A_2=\{(b,a,a)\colon a,b\in\mathbb R\}$ и $A_3=\{(a,b,a)\colon a,b\in\mathbb R\}$. Пусть $v_1=(1,0,0)$, $v_2=(0,1,0)$ и $v_3=(0,0,1)$. Ясно, что $v_i\notin A_i$. С другой стороны, любая из восьми линейных комбинаций с коэффициентами из $\{0,1\}$ лежит в объединении $A_1\cup A_2\cup A_3$.

Отмечу, что не лежащая в объединении линейная комбинация с целыми коэффициентами найдется всегда.