Функция генерирующая последовательность чисел

[e7e5]

Задана последовательность
$1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68 ...$
Нужно найти вид функции, которая генерирует такую последовательность.

Ясно, что следующий член последовательности будет $125$ - каждый последующий член равен сумме четырех предыдущих, кроме первых четырех в последовательности. А как искать функцию, которая бы задавала эту последовательность?

[terminator-II]

Что значит искать функцию? Функцию Вы уже задали этим описанием. Если нужно аналитическое выражение напишите сперва рекуррентную формулу. А потом я Вам подстановочку покажу

[CowboyHugges]

e7e5 в сообщении #338638 писал(а):

каждый последующий член равен сумме четырех предыдущих

Может все же трех?

[meduza]

e7e5 в сообщении #338638 писал(а):

функции, которая генерирует такую последовательность.

Вы имеете ввиду производящую функцию? Хотя в любом случае стоит начинать с рекуррентности. Если же важен только результат, то его с лёгкостью находит Mathematica по первым членам.

А вообще, это т. н. "числа Трибоначчи" с начальными членами $1,2,3$.

(CowboyHugges)

CowboyHugges в сообщении #338643 писал(а):

Может все же трех?

Да, автор темы явно очепятался.

[e7e5]

terminator-II в сообщении #338641 писал(а):

Что значит искать функцию? Функцию Вы уже задали этим описанием. Если нужно аналитическое выражение напишите сперва рекуррентную формулу. А потом я Вам подстановочку покажу

В указанной последовательности рекуррентное соотношение
$t_{n+3}=t_{n+2}+t_{n+1}+t_n$ ( сумма последующего члена равна сумме трех предыдущих, в условии описался).

И какая же подстановка?

[terminator-II]

e7e5 в сообщении #338846 писал(а):

$t_{n+3}=t_{n+2}+t_{n+1}+t_n$ ( сумма последующего члена равна сумме трех предыдущих, в условии описался).

И какая же подстановка?

$t_n=\lambda^n$ пишите характеристическое уравнение (только не думаю, что Вам его корни понравятся) и думайте об аналогиях с обыкновенными линейными дифурами

[e7e5]

terminator-II в сообщении #338849 писал(а):

$t_n=\lambda^n$ пишите характеристическое уравнение (только не думаю, что Вам его корни понравятся) и думайте об аналогии с обыкновенными линейными дифурами

Не очень понятно, как именно писать характеричстическое уравенение.

Вот например функциональное уравнение:
$f(n+3)=f(n+2)+f(n+1)+f(n)$

Характеристическое ( по аналогии с дифурами)?
$\lambda^3=\lambda^2+\lambda + 1$
Можно найти теперь $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ корни этого кубического уравенения.
И что дальше? И собственно правильно ли выписал характеристическое уравнение ( почему его выписывать именно так)?

[mihailm]

самая легкая книжка по рекуррентным последовательностям, называется
Маркушевич Возвратные последовательности

это кстати другое название рекуррентных последовательностей (не прижилось особо)

[terminator-II]

e7e5 Все верно. Ваше хар. уравнение имеет три корня $\alpha,\quad r(\cos\psi\pm i\sin\psi)$. Общее решение разностного уравнения имеет вид $t_n=c_1\alpha^n+c_2r^n\cos n\psi+c_3 r^n\sin n\psi$. $c_i$ -- произвольные постоянные. Почему вме это так, догадайтесь сами.

[e7e5]

terminator-II в сообщении #338870 писал(а):

Ваше хар. уравнение имеет три корня $\alpha,\quad r(\cos\psi\pm i\sin\psi)$. Общее решение разностного уравнения имеет вид $t_n=c_1\alpha^n+c_2r^n\cos n\psi+c_3 r^n\sin n\psi$. $c_i$ -- произвольные постоянные.

Т.е получается

$\alpha=\frac {1} {3} +\frac {1} {3}(19-3 \sqrt 33)^{1/3} + \frac {1} {3}(19+3 \sqrt 33)^{1/3}$
$\quad r(\cos\psi\pm i\sin\psi) \approx 0,737365(\cos 124,69^{\circ} \pm i\sin124,69^{\circ})$

$f(n)=c_1\alpha^n+c_2r^n\cos n\psi+c_3 r^n\sin n\psi$
Начальные условия для заданного ряда для нахождения констант $c_i$
$f(0)=1$, $f(2)=2$, $f(3)=3$, получается система уравнений

$1=c_1+c_2$
$2=c_1\alpha+c_2r\cos\psi+c_3 r \sin\psi$
$3=c_1\alpha^2+c_2r^2\cos 2\psi+c_3 r^2\sin 2\psi$
Все ли так? и что дальше?

[terminator-II]

Арифметику не проверял. По-сути все так. А что дальше? Вы хотели аналитическое выражение, найдите константы из этой системы, подставьте в f(n) и наслаждайтесь

[e7e5]

terminator-II в сообщении #339059 писал(а):

А что дальше? Вы хотели аналитическое выражение, найдите константы из этой системы, подставьте в f(n) и наслаждайтесь

Спасибо, то есть найдя константы, подставляя разные $n$ будет получаться искомая последовательность ( если нет, значит неверно нашел константы?).

А вот что значит производящая функция для последовательности?
Вот например так:
$G_n(a_n)(z)= \frac {-z-1} {z^3+z^2+z-1}$

[maxal]

mihailm в сообщении #338869 писал(а):

самая легкая книжка по рекуррентным последовательностям, называется
Маркушевич Возвратные последовательности

это кстати другое название рекуррентных последовательностей (не прижилось особо)

Вообще-то это название относится только к линейным рекуррентным последовательностям.

e7e5 в сообщении #339065 писал(а):

А вот что значит производящая функция для последовательности?
Вот например так:
$G_n(a_n)(z)= \frac {-z-1} {z^3+z^2+z-1}$

Посмотрите хотя бы в википедии.

[mihailm]

maxal в сообщении #339114 писал(а):

Вообще-то это название относится только к линейным рекуррентным последовательностям.

Спасибо, не знал, теперь буду знать