интегрирование по лебегу (Теорема Лебега)

[derzki]

Есть очень известная теорема, позволяющяя осуществлять предельный переход под знаком интеграла Лебега (в книге Колмогорова Фомина она называется Теорема Лебега), которая утверждает что если есть последовательность функций $\{f_n\}$, которая сходится к функции $f$ на некотором множестве $X$, и для всех $n\in \mathbb{N}$ выполняется $|f_n| \leq \phi$, где $\phi$ интегрируема на том же множестве $X$, то предельная функция $f$ тоже интегрируемя и $\lim_{n \to \infty} \int_X f_n = \int_X f$. Дальше в книге идет замечание что "поскольку значения принимаемые функцией на множестве меры нуль не влияют на интеграл, то достаточно положить чтобы $f_n \to f$ и $|f_n| \leq \phi$ почти всюду". Почему это так?

[PAV]

Поправьте формулу, пожалуйста.

Что Вас интересует? Почему значения функции на множестве нулевой меры не влияют на значение интеграла, это понятно?

[derzki]

PAV писал(а):

Поправьте формулу, пожалуйста.

Что Вас интересует? Почему значения функции на множестве нулевой меры не влияют на значение интеграла, это понятно?

Да. Если допустим выбросить конечное (счетное) число точек из области интегрирования, то почему интеграл не изменится?

[PAV]

Это следует из свойств интеграла Лебега. Только не "выбросить точки из области интегрирования", а изменить значение интегрируемой функции. В Колмогорове-Фомине это должно быть.

Скажем, для простой функции это вытекает сразу же из определения интеграла Лебега.

[derzki]

Да, нашел, спасибо. Верно ли тогда что если $f_n \to g \in L^1(X)$ в счетном числе точек из множества по которому производится интегрирование, а во всех остальных сходится к другой фунции тоже из $L^1(X)$, то можно отбросить эти точки и осуществляя предельных переход под интегралом забыть про $g$ вообще?

[PAV]

Да. На множестве меры нуль можно менять функции как угодно, свойства интегралов Лебега от этого не меняются.

[derzki]

PAV писал(а):

Да. На множестве меры нуль можно менять функции как угодно, свойства интегралов Лебега от этого не меняются.

Сейчас посмотрел другую книгу. Там даже в формулировке теоремы Лебега говорится что сходимость и доминирование должно быть как минимум почти везде.

[derzki]

Насколько строго следующее рассуждение: Пусть $f(x) \in L^1([-1,1])$. Найти $\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-1}^{1} f(x) x^n dx$. Для применения теоремы Лебега о предельном переходе под интегралом, заметим, что $f_n(x) = f(x) x^n \to 0$ почти везде кроме двух точек $x=\{1,-1\}$ и $|f_n(x)| \leq |f(x)| = \phi(x)$ везде на $[-1,1]$. Поскольку ясно что $\phi (x) \in L^1([-1,1])$ просто потому что $f(x) \in L^1([-1,1])$, т.е. $\int \limits_{-1}^{1} |f(x)| dx < \infty$, то теорема Лебега работает, и поэтому искомый интеграл равен 0.

[PAV]

Все правильно, только во второй строчке надо убрать последнюю часть $...0=f(x)$, так как $f(x)$ определена ранее. Просто оставьте $0$.

[derzki]

PAV писал(а):

Все правильно, только во второй строчке надо убрать последнюю часть $...0=f(x)$, так как $f(x)$ определена ранее. Просто оставьте $0$.

Да, действительно. Если немного усложнить, допустим $f_n(x) = f(x) * (q(x))^n$, где $q(x)$ равна $q_1(x)$ в рациональных точках отрезка $[-1,1]$ и $|q_2(x)| < 1$ в остальных точках, то тоже можно положить что $q_1(x) = 0$ (множество рац чисел счетное) и интеграл тоже будет 0?

[PAV]

Да.

С точки зрения интегрирования по Лебегу две функции, отличающиеся только на множестве меры нуль, неотличимы друг от друга. Поэтому функции $q(x)$ и $q_2(x)$ в Вашем примере неотличимы.

[Dan_Te]

Только не надо забывать, что функция $q_2$ должна быть измерима, а то может нехорошо получиться.

[derzki]

Dan_Te писал(а):

Только не надо забывать, что функция $q_2$ должна быть измерима, а то может нехорошо получиться.

А разве то что $|q_2(x)|<1$ на $[-1,1]$ этого не гарантирует? $|\int \limits_{-1}^{1} q_2(x) dx| \leq \int \limits_{-1}^{1} |q_2(x)| dx \leq \int \limits_{-1}^{1} dx = 2 < \infty$.

[PAV]

Нет, не гарантирует, Dan_Te прав. Простой пример: берем на $[-1,1]$ неизмеримое множество $A$ и полагаем функцию $q_2(x)$ равной 0.5 на $A$ и нулю на дополнении к $A$. Функция формально простая (принимает всего два значения), но ее интеграл не определен, так как не определена мера множества $A$.

[derzki]

А какое это имеет значение? Ведь $f_n(x) = f(x) * (q(x))^n \to 0$ почти везде, потому что $|q_2(x)| < 1$ (кроме рац точек), а значения в рац точках мы переопределяем вместо $q_1(x)$ на 0. Интеграл от $q_2(x)$ тут нигде не возникает. А если немного усложнить и рассмотреть такой интеграл: $\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) * (q(x))^n dx$, где известно что $f(x) \in L^1 ((-\infty, \infty))$ а $q(x)$ во всех точках числовой прямой абсолютно строго меньше 1 кроме некоторой последовательности точек (т.е. счетного множества), в которых она , например, 1 или -1 (важно что в этом случае $n$-ая степень в пределе не 0 (либо 1 либо не определена). В таком варианте алгоритм действий должен быть таким же. Тот факт что $f(x) \in L^1 (\mathbb{R})$ и $f_n (x) \to 0$ почти везде позволяют осуществить предельный переход и положить значения $q(x) = \{1,-1\}$ равными нулю. И такой интеграл тоже будет нуль. Или здесь что-то по другому?