интегрирование по лебегу (Теорема Лебега)

[PAV]

Проблема просто в том, что если функция $q_2$ не будет измерима, то допредельный интеграл может просто быть не определен и утверждение о предельном переходе тогда просто не имеет смысла.

[derzki]

Ясно, спасибо. Практикуюсь сейчас по разным задачникам. Есть аналогичная задача, прошу покритиковать решение (может что дописать или переписать нужно): $\lim \limits_{n \to \infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(x) (\cos (\pi x^3))^n dx$, где $f(x) \in L^1(\mathbb{R})$. Во-первых, заметим что $|f_n(x)|=|f(x) (\cos (\pi x^3))^n| \leq |f(x)| \in L^1(\mathbb{R})$ везде на $\mathbb{R}$ поскольку $f(x) \in L^1(\mathbb{R})$. Во-вторых, $\lim \limits_{n \to \infty} f_n = \lim \limits_{n \to \infty} f(x) (\cos (\pi x^3))^n = f(x) \lim \limits_{n \to \infty} (\cos (\pi x^3))^n = 0$, кроме точек $\pi x_i^3 = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Это множество очевидно счетно (т.к. это последовательность), и следовательно имеет лебег-меру нуль, а значит упомянутая сходимость к нулю имеет место "почти везде" на $\mathbb{R}$. Тогда, теорема Лебега применима, и осуществляя пред. переход под знак интеграла имеем, что заданный интеграл равен 0. Ясно что этот интеграл имеет смысл, поскольку $\cos$ является непрерывной функцией на $\mathbb{R}$, а значит измеримой.

[PAV]

Кажется, все правильно.