Криволинейный интеграл

[terminator-II]

вообще-то такого сорта объекты надо искать в финслеровой геометрии
http://mathworld.wolfram.com/FinslerSpace.html

[neo66]

Длина кривой, равная $i$ - это звучит круто. Или все-таки $-i$?

(Оффтоп)

Наверое, я ретроград. В любом случае,пожалуй, хватит, я оставляю эту тему для истиных знатоков.

[Gortaur]

Вообще-то, я как раз из финслеровой геометрии взял интеграл типа

$$ \int F(x,dx), $$

где $F$ однородно первой степени по второй переменной.

То, что длина кривой $i$ вас смущает, а то, что длина вектора в той же геометрии Минковского может быть $i$ - это нормально? :)

Спасибо за предложение насчет геометрии Минковского, но как уже было замечено, данный интеграл зависит от поворота координат, а хотелось бы поговорить о его смысле в первоначальных координатах.

Площадь "около" кривой - это, повторюсь, не строгое определение, оно соответствует волнистости кривой в целом. Дабы более никого не смущать, давайте все-таки оставим модуль под корнем в интеграле и обсудим смысл интеграла

$$ \int\limits_C\sqrt{|dx\,dy|} $$

terminatorII, Вы говорили о похожих диф. формах, так какой смысл они несут?

И еще, интеграл понимается как предел соответствующих интегральных сумм, который корректен, если кривая, скажем, гладкая. Вообще все криволинейные интегралы так вводились, а дифференциальные формы - скажем, последующая абстракция.