Полнота системы функций (идейный подход)

[Ashley]

Немного смутный вопрос конечно, я просто хочу уяснить.
Единственное доказательство полноты тригонометрической системы, которое я помню - то, что есть в Фихтенгольце, с интегралами и тяжелой тригонометрией. То есть немного частное и не идейное. Добавляет ли обычный курс ФА какую-нибудь стройность? Есть ли более общее и ясное доказательство, например на языке гильбертова пространства?
И вот еще, интересно: какие еще есть известные/важные теоремы о полноте неких систем функций и где это достаточно понятно написано? Например, о собственных функциях задачи Штурма-Лиувилля. В чем суть, почему по ним всё раскладывается в ряд? Или, например, я слышал, что на любом компактном многообразии есть ортональный базис в $L^2$, состоящий из собственных функций оператора Лапласа. Что это за теория и что читать?

[ewert]

Ashley в сообщении #337987 писал(а):

Например, о собственных функциях задачи Штурма-Лиувилля. В чем суть, почему по ним всё раскладывается в ряд?

Вот. Именно в этом и суть. Что задача Штурма-Лиувилля -- это задача на спектр самосопряжённого оператора с дискретным спектром. После чего система собственных функций -- автоматически оказывается ортогональной и полной.

Конечно, это -- тяжёлая артиллерия. И полнота конкретно синусов и косинусов доказывается проще теоремами типа Дирихле. И тем не менее: идейная причина полноты -- вот именно в том, что они суть собственные функции некоторого самосопряжённого оператора с дискретным спектром.

[Ashley]

шикарно
спасибо
то есть... оператор Штурма-Лиувилля - компактный и самосопряженный (а как это проще проверить?)? и тогда всё вытекает из того, как они раскладываются в линейную комбинацию проекторов?

[ewert]

Примерно так. Только не оператор Ш.-Л. компактен, а обратный к нему.

А проверяется компактность обратного -- достаточно тривиально. Это -- интегральный оператор с ограниченным ядром, ну, собссно говоря, и достаточно.

[мат-ламер]

Цитата:

Единственное доказательство полноты тригонометрической системы, которое я помню - то, что есть в Фихтенгольце, с интегралами и тяжелой тригонометрией. То есть немного частное и не идейное. Добавляет ли обычный курс ФА какую-нибудь стройность? Есть ли более общее и ясное доказательство, например на языке гильбертова пространства?

Непомню, что там в Фихтенгольце, но там вроде поточечная сходимость доказывается. В гильбертовом пространстве (в средне-квадратичном сысле) попроще будет.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #338230 писал(а):

В гильбертовом пространстве (в средне-квадратичном сысле) попроще будет.

Существенно проще -- не будет. Автоматом проходит лишь сходимость к чему-то. Но что именно к раскладываемому -- в любом варианте поковыряться придётся. Ибо чудес не бывает.

[мат-ламер]

Простота (мнимая) ещё вследствие того, что в курсе ФАН ссылаются на уже ранее доказанные теоремы (на теорему Веерштрасса, на полиномы Бернштейна...).

[ewert]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #338258 писал(а):

на полиномы Бернштейна...

Ну, на полиномы Бернштейна -- никто всерьёз не ссылается, это экзотика, приятная, конечно, но -- не более чем экзотика