2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Полнота системы функций (идейный подход)
Сообщение08.07.2010, 16:54 
Немного смутный вопрос конечно, я просто хочу уяснить.
Единственное доказательство полноты тригонометрической системы, которое я помню - то, что есть в Фихтенгольце, с интегралами и тяжелой тригонометрией. То есть немного частное и не идейное. Добавляет ли обычный курс ФА какую-нибудь стройность? Есть ли более общее и ясное доказательство, например на языке гильбертова пространства?
И вот еще, интересно: какие еще есть известные/важные теоремы о полноте неких систем функций и где это достаточно понятно написано? Например, о собственных функциях задачи Штурма-Лиувилля. В чем суть, почему по ним всё раскладывается в ряд? Или, например, я слышал, что на любом компактном многообразии есть ортональный базис в $L^2$, состоящий из собственных функций оператора Лапласа. Что это за теория и что читать?

 
 
 
 Re: Полнота системы функций
Сообщение08.07.2010, 17:03 
Ashley в сообщении #337987 писал(а):
Например, о собственных функциях задачи Штурма-Лиувилля. В чем суть, почему по ним всё раскладывается в ряд?

Вот. Именно в этом и суть. Что задача Штурма-Лиувилля -- это задача на спектр самосопряжённого оператора с дискретным спектром. После чего система собственных функций -- автоматически оказывается ортогональной и полной.

Конечно, это -- тяжёлая артиллерия. И полнота конкретно синусов и косинусов доказывается проще теоремами типа Дирихле. И тем не менее: идейная причина полноты -- вот именно в том, что они суть собственные функции некоторого самосопряжённого оператора с дискретным спектром.

 
 
 
 Re: Полнота системы функций
Сообщение08.07.2010, 17:42 
шикарно
спасибо
то есть... оператор Штурма-Лиувилля - компактный и самосопряженный (а как это проще проверить?)? и тогда всё вытекает из того, как они раскладываются в линейную комбинацию проекторов?

 
 
 
 Re: Полнота системы функций
Сообщение08.07.2010, 18:15 
Примерно так. Только не оператор Ш.-Л. компактен, а обратный к нему.

А проверяется компактность обратного -- достаточно тривиально. Это -- интегральный оператор с ограниченным ядром, ну, собссно говоря, и достаточно.

 
 
 
 Re: Полнота системы функций
Сообщение09.07.2010, 19:42 
Аватара пользователя
Цитата:
Единственное доказательство полноты тригонометрической системы, которое я помню - то, что есть в Фихтенгольце, с интегралами и тяжелой тригонометрией. То есть немного частное и не идейное. Добавляет ли обычный курс ФА какую-нибудь стройность? Есть ли более общее и ясное доказательство, например на языке гильбертова пространства?
Непомню, что там в Фихтенгольце, но там вроде поточечная сходимость доказывается. В гильбертовом пространстве (в средне-квадратичном сысле) попроще будет.

 
 
 
 Re: Полнота системы функций
Сообщение09.07.2010, 19:54 
мат-ламер в сообщении #338230 писал(а):
В гильбертовом пространстве (в средне-квадратичном сысле) попроще будет.

Существенно проще -- не будет. Автоматом проходит лишь сходимость к чему-то. Но что именно к раскладываемому -- в любом варианте поковыряться придётся. Ибо чудес не бывает.

 
 
 
 Re: Полнота системы функций
Сообщение09.07.2010, 21:43 
Аватара пользователя
Простота (мнимая) ещё вследствие того, что в курсе ФАН ссылаются на уже ранее доказанные теоремы (на теорему Веерштрасса, на полиномы Бернштейна...).

 
 
 
 Re: Полнота системы функций
Сообщение09.07.2010, 21:59 

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #338258 писал(а):
на полиномы Бернштейна...

Ну, на полиномы Бернштейна -- никто всерьёз не ссылается, это экзотика, приятная, конечно, но -- не более чем экзотика

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group