Вот несколько простеньких задачег:
Для натурального n через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи числа n.
1) Для любого

существует бесконечно много натуральных n, не делящихся на 10, для которых
2) Найти все

такие, что для любого
3) Существует бесконечно много натуральных n таких, что
4) Для любого натурального m cуществует бесконечно много натуральных n,не содержащих 0 и 1 в своей (десятичной) записи и делящихся на сумму m-х степеней своих цифр.
Пусть

. Через

обозначим последнюю цифру в десятичной записи числа
![$[\alpha^n],\text{ где }[\cdot]$ $[\alpha^n],\text{ где }[\cdot]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/7/71797701c8a80e5bfdcbbb09ad74d52582.png)
- целая часть. Будем говорить, что

порождает

.
5) Докажите, что для произвольной последовательности цифр

:
а) существует

, порождающее её;
б) множество таких

континуально.
6) Приведите пример иррационального

, порождающего последовательность

, которая: а) постоянна (т.е.

не зависит от n); б) непостоянна, но периодическая.