Несколько задач про цифры

[RIP]

Вот несколько простеньких задачег:
Для натурального n через S(n) обозначим сумму цифр в десятичной записи числа n.
1) Для любого $k\in\mathbb{N}$ существует бесконечно много натуральных n, не делящихся на 10, для которых $S(n^k)=(S(n))^k.$
2) Найти все $n\in\mathbb{N}$ такие, что для любого $k\in\mathbb{N}$ $S(n^k)=(S(n)^k.$
3) Существует бесконечно много натуральных n таких, что $S(n^4)=2S(n).$

4) Для любого натурального m cуществует бесконечно много натуральных n,не содержащих 0 и 1 в своей (десятичной) записи и делящихся на сумму m-х степеней своих цифр.

Пусть $\alpha>1$. Через $a_n$ обозначим последнюю цифру в десятичной записи числа $[\alpha^n],\text{ где }[\cdot]$ - целая часть. Будем говорить, что $\alpha$ порождает $a_n$.
5) Докажите, что для произвольной последовательности цифр $a_n$:
а) существует $\alpha$, порождающее её;
б) множество таких $\alpha$ континуально.
6) Приведите пример иррационального $\alpha$, порождающего последовательность $a_n$, которая: а) постоянна (т.е. $a_n$ не зависит от n); б) непостоянна, но периодическая.

[Руст]

Все задачи простые. Однако из-за их количества не хочется писать решения.

[RIP]

Напишите, пожалуйста, решение хотя бы первой задачи.

[Руст]

Достаточно взять

$$n=\sum_{r=0}^{k-1}10^{2^{kr}}.$$

[RIP]

Этот пример не годится при больших $k$, т.к. при этом не все полиномиальные коэффициенты будут $<10$. На самом деле, когда я придумал задачу, я тоже придумал такое "решение." Теперь и сам не знаю, а верно ли утверждение.

[Руст]

Вы не углядели, везде взято не просто 2^r, а 2^{kr}, а биномиальные коэффициенты не больше 2^k, а соседние степени после упорядочивания отличаются как минимум в 10^k>2^k.

[RIP]

Я имел в виду то, что суммироваться будут не сами коэффициенты, а суммы их цифр, поэтому

$$S(n^k)<k^k$$