КВАДРАТУРА КРУГА. Всем известно: "неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
, которая была
доказана в 1882 году Линдеманом."
Доказательство трансцендентности числа
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
размещено в интернете - "Доказательство трансцендентности Андрей Марков". Прошу ознакомиться с приведённым в данной книге доказательством.
Вместе с тем, в энциклопедии Брокгауза и Ефрона, Статья 1869 сказано: "Лежандр первый высказал мысль, что
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
должно быть число трансцендентное, но только Эрмит, в сочинении "Sur la Fonction Exponentielle" ("ComptesRendus", т. 77, 1873) показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число
![$e$ $e$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/d/8cd34385ed61aca950a6b06d09fb50ac82.png)
, есть трансцендентное, а
Линдеман в 1882 г. ("MathematischeAnnalen", т. XX), на основании соображений, подобных соображениям Эрмита, показал, что и
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
есть число трансцендентное. Теорема Линдемана заключается в том, что если
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то
![$e^x$ $e^x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/b/b6b70db98c2a5c2031dea120886f821182.png)
не может быть числом алгебраическим; а так как,
![$e^{\pi\sqrt{-1}}=-1$ $e^{\pi\sqrt{-1}}=-1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/5/5a5b93d70b65ffc9302f183ed547c6a382.png)
, то следовательно,
![$\pi\sqrt{-1}$ $\pi\sqrt{-1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/6/c/16c0f2ce4621bc2bdee31b8b174f632382.png)
, а потому и
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
не может быть числом алгебраическим."
В приведённой цитате отсутствует информация: "Линдеман доказал", а присутствует: "Линдеман показал на основании соображений, подобных соображениям Эрмита "
Почему присутствует разночтение, в формулировке о трансцендентности числа
![$\pi$ $\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/0/f30fdded685c83b0e7b446aa9c9aa12082.png)
?
13.06.10. Не вижу никаких противоречий в цитатах. Если Вы о том, что в одном случае говорится о том, что Линдеман «доказал», а во втором, что он «показал», то противоречия нет: в данном случае это синонимы. (Есть вопрос о точности формулировки, но это можно обсуждать, только после того, как будет отредактирована цитата.)
13.06.10 перенесено в Карантин, 3.07.10 возвращено. / GAA