Как сформулировать задачу двух тел в электродинамике

[Soshnikov_Serg]

Просто в литературе почему-то не встречал такой задачи. Суть в следующем. Лагранжиан электромагнитного взаимодействия для точечной релятивистской частицы рисуется просто:
$L=-q A_i U^i$
$c=1$
Пусть имеются два точечных. Поле точечного заряда описывается потенциалами Лиенара-Вихерта:
$A_i=\frac{q U_i}{R_i U^i}$
Почему бы не сформулировать задачу двух тел? Проблема возникла с написанием знаменателя выражения для лагранжиана взаимодействия:
$L=-\frac{q_1 q_2 U_{1i} U^i_2}{R_{12}}$
ну или в трехмерных обозначениях:
$L=-\frac{q_1 q_2(1- (v_1 v_2))}{r_{12}}$
Здесь $r_{12}$ - расстояние между зарядами. Вопрос в том и заключается, чтобы в явном виде записать выражение для этой величины (с учетом движения зарядов и запаздывания). Помогите, кто сможет. Или может ссылка какая есть?

[myhand]

Soshnikov_Serg в сообщении #336337 писал(а):

Просто в литературе почему-то не встречал такой задачи. Суть в следующем. Лагранжиан электромагнитного взаимодействия для точечной релятивистской частицы рисуется просто:
$L=-q A_i U^i$
$c=1$
Пусть имеются два точечных. Поле точечного заряда описывается потенциалами Лиенара-Вихерта:
$A_i=\frac{q U_i}{R_i U^i}$
Почему бы не сформулировать задачу двух тел? Проблема возникла с написанием знаменателя выражения для лагранжиана взаимодействия:
$L=-\frac{q_1 q_2 U_{1i} U^i_2}{R_{12}}$ (*)
ну или в трехмерных обозначениях:
$L=-\frac{q_1 q_2(1- (v_1 v_2))}{r_{12}}$
Здесь $r_{12}$ - расстояние между зарядами. Вопрос в том и заключается, чтобы в явном виде записать выражение для этой величины (с учетом движения зарядов и запаздывания). Помогите, кто сможет. Или может ссылка какая есть?

Считается, что делать так нельзя. Вы хотите описать движение точечных зарядов в рамках лагранжевого формализма - добро пожаловать в теорию поля. Вспоминаем действие для свободного поля, часть отвечающую взаимодействию с зарядами и действию для свободных зарядов. Пишем уравнения движения для поля и частиц и решаем их. Только приближенно можно написать выражение для лагранжиана, похожее на Ваше (*) (см. т.II ЛЛ "Поле движущихся зарядов") и получить из него уравнения движения зарядов...

1) Данная задача некорректна в рамках классической электродинамики. Необходимо использовать определенные перенормировочные процедуры, чтобы придать смысл той части поля, что отвечает действию заряда на себя...

2) Можно использовать готовые выражения для полей в виде потенциалов Лиенара-Вихерта, но получите Вы не электродинамику с запаздывающими полями, а что-то в духе теории Уиллера-Фейнмана. Уравнения движения будут дифференциально-разностными и включать наряду с запаздывающими также опережающие потенциалы.

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #336370 писал(а):

Считается, что делать так нельзя.

Ну, это понятно. Спасибо. Однако меня все-таки больше интересовала возможность определения величины $R_{12}$. Или это невозможно, т.к. в ней присутствуют величины, определяемые через собственное время разных частиц?

[myhand]

В форме лагранжиана механики представить результат - нельзя. Как можно, я написал.

Например (1) рассматривать задачу в рамках теории поля.

Или (2) теория Уилера-Фейнмана. Там лагранжиан взаимодействия отличен по форме от

$$L=-q A_i U^i$$

но его можно привести и к такому виду (где $A$ - определенная линейная комбинация запаздывающих/опережающих потенциалов Лиенара-Вихерта второй частицы, и для нее аналогичное выражение), добавив связь. В потенциалах Лиенара-Вихерта появятся знакомые Вам $R_{i}$, обозначающие запаздывающие (опережающие) расстояния между частицами.

Только зачем Вам этот лагранжиан-то? Уравнения движения получить - см. ЛЛ т.II цитированную главу.

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #336603 писал(а):

В форме лагранжиана механики представить результат - нельзя.

Жалко, конечно.

myhand в сообщении #336603 писал(а):

Только зачем Вам этот лагранжиан-то?

Да подвернулась одна задачка... Хотел сам написать, да не получилось
А за ссылку на Фейнмана и Уилера спасибо большое. Посмотрю повнимательнее.

[В. Войтик]

Soshnikov_Serg в сообщении #336337 писал(а):

Почему бы не сформулировать задачу двух тел?

Этой проблемой занимался Р. П. Гайда. Возможно вот это Вам поможет.
Р.П.Гайда "Трёхмерная лагранжева формулировка релятивистской проблемы двух тел в классической механике"
http://th-www.if.uj.edu.pl/~acta/vol05/pdf/v05p0613.pdf
У него много статей на эту тему...

[myhand]

Только взаимодействие при этом получается нефизическим (например, одна частица "чувствует" опережающее поле другой - а та запаздывающее поле первой). Что так можно сделать - еще раньше было показано Хиллом.

[VladTK]

А нельзя ли сделать что-нибудь типа такого?

Берем Фейнмановский производящий функционал с лагранжианом

$$L=L_1+L_2+L_f+L_{int1}+L_{int2}$$

где $L_1, L_2, L_f$ - лагранжианы свободных частиц и поля соответственно, $L_{int1},L_{int2}$$ - лагранжианы взаимодействия частиц и поля. "Чудесным" образом выполняем функциональное интегрирование по полю и получаем функционал с лагранжианом, зависящим только от переменных частиц.

Или это фантастика?

[myhand]

Нет, нельзя. В результате вы получите нелокальное действие (типа теории Уилера-Фейнмана), а не обычное действие из механики и то что там называется лагранжианом...

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #337612 писал(а):

обычное действие из механики

Почему-то такая мысль пришла.
А что, если тот же $R_{12}$ в лагранжиане использовать в неявном виде, а уже когда получаем ур-я Лагранжа, выписывать его соответственно для каждой частицы.
Тогда, по идее, мы должны получить явное выражение для силы, куда Е и В уже войдут в том виде, в каком они получаются из потенциалов Лиенара-Вихерта. Тогда и ур-я Максвелла решать не надо.
Нужно проверить...

[myhand]

Что значит "в неявном виде"?

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #339313 писал(а):

Что значит "в неявном виде"?

да просто в виде $R_{12}$, не заморачиваясь не предмет того, что может содержаться в таком обозначении.
А для нахождения частных производных использовать соответственно
$R-\frac{(RV_2)}{c}$ для первой частицы, либо $R-\frac{(RV_1)}{c}$ - для второй

[myhand]

Soshnikov_Serg в сообщении #339321 писал(а):

myhand в сообщении #339313 писал(а):

Что значит "в неявном виде"?

да просто в виде $R_{12}$, не заморачиваясь не предмет того, что может содержаться в таком обозначении.

Как Вы собираетесь варьировать действие с $R_{12}$ без такого "заморачивания"?

[Soshnikov_Serg]

myhand в сообщении #339323 писал(а):

Как Вы собираетесь варьировать действие с $R_{12}$ без такого "заморачивания"?

Достаточно предположения, что $R_{12}$ не зависит от скорости приемника, т.е. частицы, для которой строятся уравнения движения.

[myhand]

Soshnikov_Serg в сообщении #339463 писал(а):

myhand в сообщении #339323 писал(а):

Как Вы собираетесь варьировать действие с $R_{12}$ без такого "заморачивания"?

Достаточно предположения, что $R_{12}$ не зависит от скорости приемника, т.е. частицы, для которой строятся уравнения движения.

Нда. Достаточно представить крылья. И - взлетите как вертолет.

Во-первых, далеко не очевидно как Вам предложенное поможет. Если не сложно - поясните.

Во-вторых. Само предположение неверно. Т.к. зависит, пусть и функциональным образом. См. ЛЛ т.II, гл. VIII.