Пара вопросов по решеткам (коммутативная алгебра)

[id]

Пусть $L$ - решетка в $\mathbb R^n$, $N$ - ее подрешетка.
Доказать, что индекс $|L:N|$ равен отношению объемов фундаментальных параллепипедов решеток $N$ и $L$

В какую сторону подумать?

Когда-то решал задачку из книжки Арнольда, "Задачи для детей от 5 до 15 лет", где была в чем-то похожая задачка. На плоскости рассматривался параллепипед с целочисленными вершинами такой, что ни внутри, ни на границе не было других целочисленных точек, кроме вершин. Требовалось показать, что его объем равен единице. Там, кажется, помогали похожие рассуждения: замещаем всю плоскость этими параллепипедами, и рассматриваем объем целочисленного куба со сторонами, стремящимся к бесконечности. Этот куб тоже замощаем параллепипедами, насколько можно. При этом почти каждая вершина замощения принадлежит 4 параллепипедам и 4м единичным кубикам, откуда все и должно получаться. Вроде как, хотя это тоже можно бы уточнить.

[RIP]

Видимо, под решёткой понимается полная решётка. Можно так. Надо зафиксировать какие-нибудь базисы решёток. Отношение объёмов есть модуль определителя матрицы перехода. Заменой базиса одной из решёток можно добиться, чтобы матрица перехода была треугольной (а заменой базисов в обеих решётках можно добиться и диагональности; тогда утверждение становится вообще очевидным), а тогда уже тривиально доказывается, что индекс равен произведению модулей диагональных элементов (множество представителей смежных классов очевидно).

[id]

Цитата:

Видимо, под решёткой понимается полная решётка.

А чем полная (в данном смысле) решетка отличается от обычной? Вроде как это просто $\mathrm{span}_{\mathbb Z} \{ e_1, e_2, \dots, e_n\}$, где $\{e_i\}_{i=1}^{n}$ - линейно независимые вектора.

Цитата:

Надо зафиксировать какие-нибудь базисы решёток. Отношение объёмов есть модуль определителя матрицы перехода. Заменой базиса одной из решёток можно добиться, чтобы матрица перехода была треугольной (а заменой базисов в обеих решётках можно добиться и диагональности; тогда утверждение становится вообще очевидным)

Понятно.

Цитата:

а тогда уже тривиально доказывается, что индекс равен произведению модулей диагональных элементов (множество представителей смежных классов очевидно).

А вот тут уже не совсем, здесь и остановился.
В каждом смежном классе $L / N$ должен быть вектор из фундаментального параллепипеда $N$, причем разные векторы соответствуют разным смежным классам ( и каждый вектор, отличный от вершин, задает единственный смежный класс).
Т.е. если я правильно понял, число смежных классов - это число элементов решетки $L$ в фундаментальном параллепипеде решетки $N$ (кроме вершин), и ... ? Как здесь увязать произведение диагональных элементов?

Или, может быть, тут могут сработать более геометрические рассуждения, вроде тех, которые в задачке Арнольда? (они, кстати, примерно хотя бы верные? решений-то я не видел, но сверхсложного там быть не может)

[RIP]

id в сообщении #337513 писал(а):

А чем полная (в данном смысле) решетка отличается от обычной? Вроде как это просто $\mathrm{span}_{\mathbb Z} \{ e_1, e_2, \dots, e_n\}$, где $\{e_i\}_{i=1}^{n}$ - линейно независимые вектора.

Это полная решётка (в $\mathbb R^n$). Решётка --- это $\operatorname{span}_{\mathbb Z}\{e_1,\ldots,e_m\}$, где $m$ произвольно.

Если матрица перехода, скажем, $\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\ldots&a_{1,n}\\0&a_{2,2}&a_{2,3}&\ldots&a_{2,n}\\0&0&a_{3,3}&\ldots&a_{3,n}\\\hdotsfor{5}\\0&0&0&\ldots&a_{n,n}\end{pmatrix}$, то в кач-ве представителей смежных классов можно взять всевозможные $(r_1,\ldots,r_n)^{\mathrm T}$, где $0\le r_j\le|a_{j,j}|-1$ (с помощью последнего столбца можно добиться, чтобы $r_n$ лежало в указанном промежутке, потом с помощью предпоследнего столбца разбираемся с $r_{n-1}$ и т.д.; понятно, что все вектора лежат в разных классах смежности).

[id]

Так... примерно разобрался (с диагональным видом и в самом деле все очевидно), спасибо!