maxmin

[arqady]

Эта задача была на вступительных экзаменах в Hitotsubashi University (Япония) в 1990 году.
Пусть $x,$ $y$ и $z$ действительные и $a$, $b$ и $c$ данные положительные такие, что $ax+by+cz=1.$
Найдите

$$\max\min\left\{\frac{x}{a},\frac{y}{b},\frac{z}{c}\right\}$$

[TOTAL]

Максимума не существует. (Берём маленькие $a$ и огромные $x$)

[ИСН]

Как я понял, мы $a$ не берём. Оно дано, оно уже какое-то.

[TOTAL]

ИСН в сообщении #334089 писал(а):

Как я понял, мы $a$ не берём. Оно дано, оно уже какое-то.

Т.е. если про число говорят, что оно положительное, то подразумевают, что оно задано. А если про число говорят, что оно действительное, то оно не задано? Их, японцев, не поймёшь!

[ИСН]

Если попытаться формализовать мои догадки, то это скорее связано с расстоянием буквы от начала алфавита, но вообще-то теперь я бы почёл за благо ознакомиться с авторским видением вопроса.

[ewert]

arqady в сообщении #334075 писал(а):

Эта задача была на вступительных экзаменах в Hitotsubashi University (Япония) в 1990 году.
Пусть $x,$ $y$ и $z$ действительны и $a$, $b$ и $c$ положительны такие, что $ax+by+cz=1.$
Найдите

$$\max\min\left\{\frac{x}{a},\frac{y}{b},\frac{z}{c}\right\}$$

$${\min\left\{a^2,b^2,c^2\right\}\over a^4+b^4+c^4}$$

[TOTAL]

$${{1}\over a^2+b^2+c^2}$$

[ewert]

TOTAL в сообщении #334112 писал(а):

$${{1}\over a^2+b^2+c^2}$$

Это правда. Тупо и в лоб ровно так и получится. Сообразил уж походу в магазин. А я зачем-то начал там легкомысленно чего-то такое изобретать...

Впрочем, предлагаю дополнительно доказать, что положительность коэффициентов вовсе и ни к чему -- существенно лишь, что все они ненулевые.

[arqady]

Исправил. $a,$ $b$ и $c$ - постоянные, а $x,$ $y$ и $z$ меняются так, что $ax+by+cz=1.$

[ewert]

ну так мы ж экстрасенсы, мы ж ровно так и поняли

[mihiv]

$maxmin=minmax=\frac 1{a^2+b^2+c^2}$

[Spook]

напишите, пожалуйста, кто-нибудь решение (или ход, если какой-то метод есть)

[ewert]

Перепишите задачу в виде: найти $\max\limits_{x,y,z}\min\big\{x,y,z\big\}$ при условии, что точка $(x,y,z)$ пробегает наклонную плоскость $a^2x+b^2y+c^2z=1$. Плоскости $x=y$, $y=z$ и $x=z$ делят всё пространство на три двугранных угла, в одном из которых $x$ меньше каждой из двух других переменных, во втором минимальна $y$ и в третьей -- $z$. Соответственно, плоскость $a^2x+b^2y+c^2z=1$ делится этими же плоскостями на аналогичных сектора, сходящихся в общей вершине $x=y=z=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}$. И остаётся только убедиться в том, что в пределах каждого из этих секторов максимальное значение соответствующей переменной (той самой, которая там минимальна) достигается именно в этой вершине.

[arqady]

Spook в сообщении #337381 писал(а):

напишите, пожалуйста, кто-нибудь решение (или ход, если какой-то метод есть)

Вот ещё.

[Spook]

спасибо!