Евклидова длина равна комплексному углу

[ИгорЪ]

Известно, что вращения 3-вектора $(x,y,z)$ группой $SO(3)$ можно представить как $SU(2)$ преобразования 2-спинора $(z_1,z_2)$. Пользуясь связью векторных и спинорных компонент, см. например в Румер Фет Квантовые поля или Райдер Квантовая теория поля, можно показать, что 3-мерная длина в $R^3$ равна углу в $C^2$, точнее
$dx^2+dy^2+dz^2=(z_1dz_2-z_2dz_1)^2$. Может ли кто прояснить геометрическую, а может быть даже физическую причину этого чуда?

[Time]

Вы попробуйте к пространству $C^2$ подойти как к частного вида финслерову пространству. Для него можно найти вещественную величину для модулей векторов? Или это пространство типа симплектических, у которых модуль всегда равен нулю?

[bayak]

То что под действием группы $SU(2)$ комплексные координаты вращаются можно понять, если мы представим специальную унитарную матрицу в виде произведения трёх матриц, - по краям двух вещественных ортогональных из $SO(2)$, а по середине одной диагональной матрицы $[e^{i\varphi},e^{-i\varphi}]$ .

[Khrapko]

ИгорЪ в сообщении #334154 писал(а):

Известно, что вращения 3-вектора $(x,y,z)$ группой $SO(3)$ можно представить как $SU(2)$ преобразования 2-спинора $(z_1,z_2)$. Пользуясь связью векторных и спинорных компонент, см. например в Румер Фет Квантовые поля или Райдер Квантовая теория поля, можно показать, что 3-мерная длина в $R^3$ равна углу в $C^2$, точнее
$dx^2+dy^2+dz^2=(z_1dz_2-z_2dz_1)^2$.

Пожалуйста, поясните, какая связь между инфинитезимальным 3-вектором $\{dx,dy,dz\}$, комплексным 2-вектором $\{z_1,z_2\}$ и инфинитезимальным комплексным 2-вектором $\{dz_1,dz_2\}$. Укажите также страницу в Райдер Квантовая теория поля.

[ИгорЪ]

Связь есть между вектором и спинором, образно говоря $(x,y,z) = F (z_1,z_2)$
Точные формулы в указанных книгах на стр. про спиноры и ур.Дирака. Точно не скажу нет под рукой, а связь дифф. выражений - просто вычислил по этим формулам и увидел.

-- Ср июн 30, 2010 09:49:32 --

bayak
разве не (дробно-)линейные преобразования испытывают спиноры?

[bayak]

ИгорЪ в сообщении #336342 писал(а):

разве не (дробно-)линейные преобразования испытывают спиноры?

Насколько я понимаю, дробнолинейное преобразование действует на $C$, но вместе с тем на него сюръективно отбражается группа общих линейных преобразований $GL_{2}(C)$, поэтому можно сказать, что оно "испытывает" и спиноры. Однако у Вас речь идёт об унитарных преобразованиях.

-- Ср июн 30, 2010 13:26:54 --

Time в сообщении #334324 писал(а):

Вы попробуйте к пространству подойти как к частного вида финслерову пространству.

А как это сделать? Ваше $C^{2}$ это алгебра над $R$ или над $C$?

[Time]

bayak в сообщении #336387 писал(а):

А как это сделать? Ваше $C^2$ это алгебра над $R$ или над $C$ ?

Я исходил из того, что любое пространство с комплексными координатами можно попытаться представить как линейное финслерово пространство над $R$. Для этого нужно от определения связанного со скалярным произведением от двух векторов с комплексными координатами перейти к скалярному полипроизведению от четырех векторов с вещественными компонентами. Пространство после такой процедуры должно превратится в финслерово с метрикой связанной уже не с квадратичной формой, а с биквадратичной. В таком пространстве можно говорить о вещественных модулях векторов, углах между ними, а также об иных метрических инвариантах, которые естественным образом оказываются присущими соответствующей финслеровой геометрии. Рассмотрение таких пространств как пространств над $C$, на мой взгляд, не может считаться полным, так как отдельные свойства при этом оказывается не раскрытыми.
Конкретный пример. Пространство связанное с алгеброй $C(C)$ или так называемые бикомплексные числа. Вы можете это пространство рассматривать как двумерное комплексное со скалярным произведением и изучать вытекающие отсюда свойства, в частности, группы симметрий и различные линейные или нелинейные преобразования. Что-то нетривиальное при этом, естественно, зацепите. Но также можно рассмотерть это пространство как четырехмерное вещественное. При этом роль скалярного произведения перейдет от билинейной симметрической формы, в которую входят два вектора с комплексными координатами, к полилинейной от четырех векторов с вещественными координатами. То есть от комплексного пространства с квадратичной комплексной формой перейти к финслеровой вещественной. В последнем случае должны остаться все свойства наблюдавшиеся в комплексных координатах, но также должны появиться и новые, которые просто невозможно заметить, пока вы остаетесь в рамках комплексных представлений о координатах. В частности, помимо двух привычных метрических инвариантов являющихся финслеровыми обобщениями понятий длины и угла появляется место для еще, минимум, двух вещественных инвариантов, о существовании которых очень трудно догадаться, если отталкиваться исключительно от скалярных произведений пар векторов, пусть и с комплексными компонентами.
В отличие от бикомплексных чисел, с пространством $C^2$, о котором завел речь автор головного поята я никогда не работал, поэтому могут быть некоторые неизвестные мне сюрпризы и предложенный алгоритм может не сработать. Но попробовать то стОит.. Если, конечно, есть желание разобраться, что тут к чему с позиций финслеровых обобщений квадратичных комплексных геометрий. А специфических нюансов тут должно оказаться выше крыши..

[ИгорЪ]

bayak
стр.36 Румера-линейные преобразования, 38 -дробго-линейные. Причём здесь угол и вращения так и не понятно.

-- Чт июл 01, 2010 10:05:26 --

Time
ничего не понял, причём здесь финслера.
Вопрос был как объяснить связь длины с углом.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #336589 писал(а):

Time
ничего не понял, причём здесь финслера.
Вопрос был как объяснить связь длины с углом.

Как раз для того, что бы понять замеченную Вами связь евклидовой длины с углом в двумерном комплексном пространстве я и предложил попробовать взглянуть на пространство $C^2$ не как на комплексное, а как на вещественное в два раза большей размерности. При таком взгляде прсотранство $C^2$ должно оказаться финслеровым. У него будут вещественные длины и вещественные углы. Только финслеровы. Если замеченная Вами закономерность сохранится и в этом случае, почему так получается может оказаться на много очевиднее. Но если Вам сам финслеровский вариант подхода "жмет", тогда можете в эту сторону и не смотреть. Дело, как говорится, хозяйское.. Но Вы же, кажется, хотели разобраться и готовы были на любые даже кажущиеся по-первой экзотическими варианты..

[Khrapko]

ИгорЪ в сообщении #334154 писал(а):

Известно, что вращения 3-вектора $(x,y,z)$ группой $SO(3)$ можно представить как $SU(2)$ преобразования 2-спинора $(z_1,z_2)$. Пользуясь связью векторных и спинорных компонент, см. например в Румер Фет Квантовые поля или Райдер Квантовая теория поля, можно показать, что 3-мерная длина в $R^3$ равна углу в $C^2$, точнее
$dx^2+dy^2+dz^2=(z_1dz_2-z_2dz_1)^2$.

То есть, по Вашей формуле для модуля приращения {dx,dy,dz} вектора {x,y,z}, информация о самом векторе {x,y,z} заключена только в его образе $\{z_1,z_2\}$?
А приращение $\{dz_1,dz_2\}$ этого образа зависит только от приращения {dx,dy,dz} или от самого вектора {x,y,z} тоже?
И, пожалуйста, распишите аккуратнее квадрат комплексного чила в правой части с помощью комплексного сопряжения

[bayak]

Time в сообщении #336581 писал(а):

В отличие от бикомплексных чисел, с пространством , о котором завел речь автор головного поята я никогда не работал, поэтому могут быть некоторые неизвестные мне сюрпризы и предложенный алгоритм может не сработать. Но попробовать то стОит.. Если, конечно, есть желание разобраться, что тут к чему с позиций финслеровых обобщений квадратичных комплексных геометрий. А специфических нюансов тут должно оказаться выше крыши..

Тонкость здесь в том, что при овеществлении комплексной матричной алгебры над полем комплексных чисел необходимо кроме овеществления матриц овеществлять также и поле. Тогда, овеществляя алгебру матриц Паули $<\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}>_C$, мы заметим, что она изоморфна прямой сумме алгебры кватернионов $H=<i\sigma_{1},i\sigma_{2},i\sigma_{3}>_R$ и алгебры $<\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}>_R$, т.е. алгебры над $R$, порождаемой овеществлёнными матрицами Паули. То что алгебра кватернионов связана с четырёхмерным евклидовым (квадратичным пространством) общеизвестно, а вот с каким четырёхмерным (возможно финслеровым) пространством связана алгебра $<\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}>_R$ я не знаю. Помогите, пожалуйста, разобраться.

-- Вс июл 04, 2010 17:20:04 --

ИгорЪ в сообщении #336589 писал(а):

стр.36 Румера-линейные преобразования, 38 -дробго-линейные. Причём здесь угол и вращения так и не понятно.

У Румера с Фетом есть ещё книга с другим названием - Унитарные симметрии. Рекомендую. А где можно скачать их книгу с названием - Квантовые поля?

[bayak]

В связи с поиском финслерова пространства, связанного с алгеброй $<\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}>_{R}$, у меня под подозрением пространство Чернова $(x,y,z,t)$ с полилинейной формой $xyz+txy+tyz+txz$. Я не ошибся?

[bayak]

Посмотрел статью Чернова и увидел, что с указанной алгеброй ассоциировано пространство Бервальда-Моора. Удивительно!

[bayak]

bayak в сообщении #337291 писал(а):

Посмотрел статью Чернова и увидел, что с указанной алгеброй ассоциировано пространство Бервальда-Моора. Удивительно!

Да уж, поторопился я. Дело в том, что хотя квадрат любой матрицы Паули и равен матричной единице, но произведение двух матриц Паули не равно третьей. Тем самым, $<\sigma_{1},\sigma_{2},\sigma_{3}>_{R}$ не алгебра а только модуль. Всё равно тема интересная и тут есть о чём подумать.