Среднее арифметическое и среднее геометрическое

[Sasha2]

Интересно, а почему физики и инженеры используют для среднего значения величины среднее арифметическое, а не срднее геометрическое:

1) Это в силу сложившейся традиции.
2) Складывать легче, чем умножать и извлекать корни
3) Есть математическое подтверждение, что истинное значение измеряемой величины ближе к среднему арифметическому, чем к среднему геометрическому (или вообще к какому-либюо другому среднему степенному)

[--mS--]

Sasha2 в сообщении #337137 писал(а):

Интересно, а почему физики и инженеры используют для среднего значения величины среднее арифметическое, а не срднее геометрическое:

См. закон больших чисел.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #337137 писал(а):

2) Складывать легче, чем умножать и извлекать корни

Вот именно. Среднее геометрическое всё равно сводится к среднему арифметическому путём логарифмирования; так зачем же ещё и логарифмировать, без необходимости-то?...

[Shtirlic]

ewert
А почему всякие темпы роста, прироста считают по средне геометрическому?

[Sasha2]

Тогда еще тоже вот такой вопрос:

Имеется n положительных чисел. Из них составляются всевозможные средние арифметические и средние геометрические.
Что больше среднее арифметическое всех средних геометрических или среднее геометрическое всех средних арифметических?

[Shtirlic]

Sasha2
Насколько я помню, есть формула, что среднее арифметическое больше, либо равно средне геометрического!

Кстати, вот что еще пришло в голову! Если в выборке будет 0, то среднее геометрическое будет равно 0! В этом смысле, среднее геометрическое хуже!

[Sasha2]

Ну это для конкретного набора, а там то уже наборы разные. Первый набор - это все средние геометрические, а второй набор - \то все средние арифметические.
Конечно, каждое число первого набора не больше соответствующего числа второго набора. Но по первому набору берется среднее арифметическое, а по второму среднее геометрическое.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #337182 писал(а):

Тогда еще тоже вот такой вопрос:

Имеется n положительных чисел. Из них составляются всевозможные средние арифметические и средние геометрические.
Что больше среднее арифметическое всех средних геометрических или среднее геометрическое всех средних арифметических?

Что такое среднее арифметическое от одного числа и учитываем ли мы его?
В любом случае, составьте Ваше неравенство для $n=2$, для $n=3$,... и посмотрите, что там получается.

[Sasha2]

Да учитываем. Для двух это выглядит так:

$\frac{a+b+\sqrt{ab}}{3} ? \sqrt[3]{ab\frac{a+b}{2}}$

А для трех уже вообще такое громоздкое получается.

Но что это дает. Общей тенденции все равно не усмотреть.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #337199 писал(а):

Да учитываем. Для двух это выглядит так:

$\frac{a+b+\sqrt{ab}}{3} ? \sqrt[3]{ab\frac{a+b}{2}}$

А для трех уже вообще такое громоздкое получается.

Но что это дает. Общей тенденции все равно не усмотреть.

Для двух верно такое: $\frac{a+b+\sqrt{ab}}{3}\geq \sqrt[3]{ab\frac{a+b}{2}}$.
Для $n=3$ получается

$$\frac{a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc}}{7}\geq\sqrt[7]{\frac{(a+b+c)(a+b)(a+c)(b+c)abc}{24}}$$

которое выглядит верным.

[мат-ламер]

Возвращаясь к первоначальному вопросу, а если использовать для оценки матожидания случайной величины (допустим, нормальной)среднее геометрическое, то будет ли эта оценка состоятельной, т.е. будет ли её (оценки) матожидание равняться матожиданию сл. величины?

-- Вс июл 04, 2010 22:39:02 --

Интуитивно кажется, что для положительной случайной величины, эта оценка будет заниженой.

[Батороев]

По мне так - среднему арифметическому можно придать какой-то смысл, например, средняя скорость, средняя температура, а вот среднему геометрическому что-то на ум сразу ничего и не приходит.

[--mS--]

мат-ламер в сообщении #337278 писал(а):

Возвращаясь к первоначальному вопросу, а если использовать для оценки матожидания случайной величины (допустим, нормальной)среднее геометрическое, то будет ли эта оценка состоятельной, т.е. будет ли её (оценки) матожидание равняться матожиданию сл. величины?

Интуитивно кажется, что для положительной случайной величины, эта оценка будет заниженой.

Вы путаете состоятельность и несмещённость.

Состоятельной оценкой будет среднее арифметическое, и в данном случае только оно, см. ЗБЧ. Причина проста: математическое ожидание никакой выпуклой (вогнутой) функции от случайной величины не равно этой функции от матожидания, за исключением тривиальных случаев типа вырожденного распределения, линейной функции и т.п. Для строго положительных с.в. (кстати, как корень из отрицательных чисел - возможных реализаций нормального распределения - извлекать будете?):

$$ \sqrt[n]{X_1\cdot\ldots\cdot X_n} = e^{\frac1n\sum \ln X_i}\quad {\buildrel p \over \longrightarrow} \quad e^{\mathsf E\ln X_1} < e^{\ln \mathsf EX_1} = \mathsf EX_1. $$

Неравенство Йенсена. То же о несмещённости:

$$\mathsf E\sqrt[n]{X_1\cdot\ldots\cdot X_n} = \left( \mathsf E \bigl(X_1^{1/n}\bigr) \right)^n < \left( \bigl(\mathsf E X_1\bigr)^{1/n} \right)^n = \mathsf EX_1. $$

[ИСН]

А про физику вообще даже не начинайте. Там что угодно может быть. К примеру, мы определяем длину связи в двухатомной молекуле по вращательным спектрам. То есть измеряем что? - разницу энергии между линиями в спектре. Которая обратно пропорциональна моменту инерции, который, в свою очередь, зависит от длины в квадрате. То есть фактически получается среднее минус второй степени.

[PAV]

В книге К. Джини "Средние величины" (1970) приведено множество различных способов выбора "среднего". А в интернете можно найти реферат "Проблема выбора средней величины". Так что вопрос о том, как считать "среднее", вообще говоря, может быть достаточно содержателен.

В принципе, в каждой задаче, где это требуется, нужно использовать то среднее, которое соответствует смыслу задачи. И этот выбор может быть различен.

Например, пусть у нас есть представительная выборка наблюдений за случайной величиной, на основе которой можно оценивать ее распределение или различные характеристики. Требуется посчитать одно число, которое могло бы выступать в качестве "экспертного предсказания" значения этой величины в будущих экспериментах. В этом случае оптимальный выбор будет различным в зависимости от того, как меряется качество этого предсказания. Если критерием является квадрат отклонения наблюдаемого значения от предсказанного, то следует выдавать математическое ожидание (т.е. в терминах выборки - среднее арифметическое, ну или другую статистическую оценку). Если же критерием является модуль отклонения, то более правильно выдавать медиану, которая тоже является вариантом среднего.

Другой пример можно составить из предыдущих сообщений. Допустим, что мы имеем дело с некоторой характеристикой, и для нее действительно среднее арифметическое - это наиболее адекватный выбор. А кто-то другой имеет дело с экспонентой от той же характеристики. По сути ничего не меняется, так как экспонента монотонна и потери информации не происходит. Но в качестве среднего тогда уже нужно брать среднее геометрическое, поскольку именно оно соответствует среднему арифметическому исходной величины.