Возведение в степень

[AD]

Xaositect в сообщении #337118 писал(а):

Ну есть же матричное представление алгебры $\mathbb{C}$. Его тоже можно взять за определение.

:]|||||[: Логично!

[Shtirlic]

AD
Вот запись:
$\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $x\mapsto (x,0)$
Понял как:
$\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ - проекция комплексных чисел на множество действительных чисел.
$x\mapsto (x,0)$ - элементу $x$ из действительных чисел, соответствует эемент $(x,0)$ из комплексных чисел.
Или как, при переходе из действительных чисел в комплексные, элемент $x$ переходит в$(x,0)$.
Не знаю, как правильно сказать.

А вот эту запись не могу понять:
$\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $z\mapsto iz$

Я так понял здесь подразумеваеться, что $z=iz$, но ведь:
$x+iy\neq ix-y$.
Что я ни так понимаю?

[AD]

Не-не, оператор - он переводит один элемент пространства в другой. Значок $\mapsto$ (\mapsto) означает "переходит в". Как бы $x\neq(x,0)$ тоже, просто $x$ переходит в $(x,0)$ при стандартном вложении.

[Shtirlic]

AD в сообщении #337150 писал(а):

Не-не, оператор - он переводит один элемент пространства в другой. Значок $\mapsto$ (\mapsto) означает "переходит в". Как бы $x\neq(x,0)$ тоже, просто $x$ переходит в $(x,0)$ при стандартном вложении.

Это я понял! Но дело в том, что в данном случае, у нас комплексное число переходит в комплексное! Или здесь имеется ввиду переход в другую форму, скажем что-то типа сдвига?
Например:
$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$,$x\mapsto (x+2)$, т.е. 5 переходит в 7, 8 переходит в 10.
Тогда в этом примере $+2$ воспринимается как оператор перехода?

[AD]

Да-да, это обозначение обозначает именно это.

[Shtirlic]

AD
Ясно! Спасибо за разъяснения!=)

[Батороев]

AD в сообщении #337058 писал(а):

Shtirlic в сообщении #337048 писал(а):

Мнимая единица — число, квадрат которого равен −1.
Это определение из википедии. Других определений, типа это оператор я не встречал.

На всякий случай поясню для всех желающих: "число, квадрат которого равен −1" - это тоже не определение. Пока мы не определили мнимую единицу как следует, на такое "определение" ответ "нет таких". Как следует - это примерно так: берем линейное пространство $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$, вводим на нем умножение $(a,b)\times(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$, примечаем вложение поля $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $x\mapsto (x,0)$, и говорим, что $i\stackrel{\text{def}}{=}(0,1)$. И тут же выясняется, что "определение по википедии" снова некорректно, потому что $-i$ ему тоже удовлетворяет.

Как мне видится суть числа $i$...

Возьмем декартовы координаты.
Точки пересечения целочисленных координат являются вершинами прямоугольников, площадь которых равна произведению координат.
Фактически мы получили таблицу Пифагора в декартовых координатах.

Отметим точки $(1,1$) и $(-1,1)$. Это вершины квадратов, площадь которых равна соответственно $1$ и $-1$.
Единственное отличие первого и второго квадратов в том, что находятся они в разных четвертях.
Таким образом, $i$ - это некий переводной коэффициент, при помощи которого свойства произведений (площадей прямоугольников и квадратов) 2-й и 4-й четвертей можно приводить к свойствам произведений 1-й и 3-й четвертей и наоборот (не обязательно целочисленных). Такой коэффициент особенно необходим при рассмотрении совокупности произведений разных четвертей.

[AD]

(Оффтоп)

Батороев в сообщении #337155 писал(а):

Это вершины квадратов, площадь которых равна соответственно $1$ и $-1$.

Вот за квадраты с площадью $-1$ как раз мнимые числа и не любили поначалу

[Батороев]

(Оффтоп)

AD в сообщении #337156 писал(а):

Батороев в сообщении #337155 писал(а):

Это вершины квадратов, площадь которых равна соответственно $1$ и $-1$.

Вот за квадраты с площадью $-1$ как раз мнимые числа и не любили поначалу

При предлагаемом мной рассмотрении любая "мнимость" как раз то и исчезает. Все становится явным.
Ну, давайте не будем отрицательные произведения называть площадями прямоугольников и квадратов.

-- 04 июл 2010 12:53 --

Подобное рассмотрение можно перевести и в область кубических координат.
В этом случае может оказаться, что одного переводного коэффициента будет недостаточно.

[ewert]

AD в сообщении #337058 писал(а):

Как следует - это примерно так: берем линейное пространство $\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$, вводим на нем умножение $(a,b)\times(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$, примечаем вложение поля $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$, $x\mapsto (x,0)$, и говорим, что $i\stackrel{\text{def}}{=}(0,1)$. И тут же выясняется, что "определение по википедии" снова некорректно, потому что $-i$ ему тоже удовлетворяет.

Не совсем так, т.е. это -- очень примерно. Во-первых, кроме умножения надо определить ещё и сложение. Во-вторых, формально доказать, что эти две операции удовлетворяют всем обычным аксиомам. В-третьих, вложение $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ надо не только "пометить", но и доказать, что это корректно (т.е. что это изоморфизм). В-четвёртых, $(0;1)$ обозначаем $i$ на основании того, что, как вдруг выясняется, квадрат этого числа и впрямь равен минус единичке. В-пятых, доказываем, что в выбранной системе обозначений и впрямь получается $(a;b)\equiv a+i\cdot b$. (Вот ровно для этого, между прочим, и объявлялось именно $i\equiv(0;1)$, а не $i\equiv(0;-1)$. А уж то, что квадратный корень из минус единички если и есть, то не один -- выяснять вовсе не нужно, это заранее очевидно, до всяких конструкций.)

[STilda]

Shtirlic, вы не различаете понятия.
Если $i$ число, то и унарный минус число. Но унарный минус не число. Нужно различать $5i$ что есть ОБОЗНАЧЕНИЕ нового элемента множества и $5*i$ что есть сокращенная запись $(+5)*(1i)$ что подразумевает операцию умножения натуральных количеств и операцию умножения плюса на мнимую единицу ("операторов"). С одной стороны это обозначения, с другой стороны "операторы". И вам вопрос: из какого в какое пространство действуют данные "операторы"?

[AD]

STilda в сообщении #337333 писал(а):

нового элемента множества

Простите, а что такое "новый элемент множества"?

[Shtirlic]

STilda в сообщении #337333 писал(а):

Shtirlic, вы не различаете понятия.
Если $i$ число, то и унарный минус число. Но унарный минус не число. Нужно различать $5i$ что есть ОБОЗНАЧЕНИЕ нового элемента множества и $5*i$ что есть сокращенная запись $(+5)*(1i)$ что подразумевает операцию умножения натуральных количеств и операцию умножения плюса на мнимую единицу ("операторов"). С одной стороны это обозначения, с другой стороны "операторы". И вам вопрос: из какого в какое пространство действуют данные "операторы"?

Я с таким же успехом могу сказать, что$\sqrt 2$ оператор который переводит из пространства рациональных чисел в пространство действительных чисел, и не является числом.

[PAV]

Тема переносится в дискуссионный раздел

-- Пн июл 05, 2010 12:26:38 --

STilda в сообщении #336599 писал(а):

Вот возьмем $(a+b)^n=a^n+n a^{n-1}b+...+b^n$. Это логично и проверяется на практике (прямым пересчетом объектов). А теперь берем и говорим, пусть $n$ - комплексное число. Теперь пишем $(a+b)^{2i}=a^{2i}+2ia^{2i-1}b+...$. Это так сделали в формуле Эйлера.

STilda в сообщении #336965 писал(а):

То что я подставил в бином копмлексную степень вас смутило, а то что вы делаете такуюже подстановку в ряд экспоненты не смущает?

В формулу бинома нельзя подставлять нецелую степень, потому что эта степень в ней фигурирует и в виде количества слагаемых, и в виде факториалов. Вы сперва честно подставьте в бином нецелое вещественное число и покажите, что при этом получается тот же результат, что и для других определений степени. А потом уже можно будет и о комплексных степенях думать.

[AD]

Хмм, PAV, а что не так с биномом Ньютона? То есть я тоже нигде не видел изложения, где это бралось бы за определение, но вроде никаких проблем, кроме адской неестественности, нету ... Вроде даже как раз именно это Ньютон и придумал

wikipedia.org писал(а):

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции $(1 + x)^r$ в ряд Тейлора:

$$(1+x)^r=\sum_{k=0}^{\infty} {r \choose k} x^k$$

где $r$ может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

$${r \choose k}={1 \over k!}\prod_{n=0}^{k-1}(r-n)=\frac{r(r-1)(r-2)\cdots(r-(k-1))}{k!}$$