Возведение в степень

[STilda]

При переходе от целых к рациональным числам $2^{-1}$ - новый добавляемый элемент. Почему тогда $2^i$ ($i$ - комплексная единица) пытаются вычислить а не также объявить новым?

[terminator-II]

Дайте определение числа $a^b,\quad a>0,\quad b\in\mathbb{R}.$

(Я думаю, что этой теме место в "Помогите решить..", хотя обычно такие темы открывают, чтоб оказаться в "Пургатории")

[ewert]

STilda в сообщении #336358 писал(а):

При переходе от целых к рациональным числам $2^{-1}$ - новый добавляемый элемент. Почему тогда $2^i$ ($i$ - комплексная единица) пытаются вычислить а не также объявить новым?

Ну давайте начнём с того, что при переходе от целых к рациональным обобщают вовсе не степень, а деление (на тот момент степень решительно никому не интересна). Да и потом, при переходе уже к комплексным -- тоже вовсе не степенью озабачиваются; это уж потом она как бесплатное приложение и несколько даже неожиданно так вылазит.

[paha]

(Оффтоп)

есть такой принцип: "бритва Оккама"

[Leox]

STilda в сообщении #336358 писал(а):

При переходе от целых к рациональным числам $2^{-1}$ - новый добавляемый элемент. Почему тогда $2^i$ ($i$ - комплексная единица) пытаются вычислить а не также объявить новым?

потому что оно вычисляется (приблизительно $0.7692389014+ 0.6389612763\,i$) и принадлежит полю комплексных чисел, в отличии от $2^{-1}$ которое уже не целое число, а ето уже принципиально.

[STilda]

Leox в сообщении #336494 писал(а):

STilda в сообщении #336358 писал(а):

При переходе от целых к рациональным числам $2^{-1}$ - новый добавляемый элемент. Почему тогда $2^i$ ($i$ - комплексная единица) пытаются вычислить а не также объявить новым?

потому что оно вычисляется (приблизительно $0.7692389014+ 0.6389612763\,i$) и принадлежит полю комплексных чисел, в отличии от $2^{-1}$ которое уже не целое число, а ето уже принципиально.

Если вы проанализируете внимательно а не с позиций автоматического воспоминания заученного правила то... поймете что оно НЕ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ. ПРИНЯЛИ что будем его считать во так вот. Это приняли насильно. С таким же успехом можно было постановить, что-то на подобие $2^{-1}=3+4j$, где $j$ - некоторая гиперкомплексная единица.

[PAV]

STilda
давайте для начала определимся: Вы начали эту тему действительно для того, чтобы разобраться, как это происходит в существующей математике, или для того, чтобы поведать миру о том, как по Вашему мнению это должно происходить "на самом деле"? От этого зависит место темы на форуме и требования к ее оформлению и изложению.

[AD]

STilda в сообщении #336358 писал(а):

При переходе от целых к рациональным числам $2^{-1}$ - новый добавляемый элемент. Почему тогда $2^i$ ($i$ - комплексная единица) пытаются вычислить а не также объявить новым?

Потому что они Вас не любят.

Никаких формальных причин для этого нет, все определения даются произвольным образом по совершенно жизненным причинам и серьезному формальному обсуждению не подлежат.

В этом случае любая попытка выбрать $2^{-1}$ среди целых чисел нарушает стройность картины, а поиск $2^i$ среди комплексных чисел не нарушает. Стройность картины - понятие субъективное, но достаточно ясное.

[Shtirlic]

Цитата:

Если вы проанализируете внимательно а не с позиций автоматического воспоминания заученного правила то... поймете что оно НЕ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ.

Почему же не вычисляется. Оно прекрасно вычисляется по формуле Эйлера, верность которой доказывается с помощью рядов Тейлора, с учетом обобщения операции дифференцирования на множество комплексных числе. А решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, когда у характеристического уравнения есть комплексные корни, лишний раз доказывают верность этих выводов.

[STilda]

PAV, для того чтоб обсудить нелогичность того, как вводится степень для комплексных.
Вот возьмем $(a+b)^n=a^n+n a^{n-1}b+...+b^n$. Это логично и проверяется на практике (прямым пересчетом объектов). А теперь берем и говорим, пусть $n$ - комплексное число. Теперь пишем $(a+b)^{2i}=a^{2i}+2ia^{2i-1}b+...$. Это так сделали в формуле Эйлера. Я понимаю что так сделали. Но где здесь "жизненная причина" и соответствие практике? Поэтому я склоняюсь думать, что $2^i$ не вычисляется, а принимается дополнительное соглашение (аксиома), что будем это выражение сопоставлять с вот таким вот. А логичнее было бы объявить его новым элементом множеста.
AD, на счет "стройности" возведения в комплексную степень я уже приводил ссылки. Многозначные функции и прочие ухищрения явно не стройность, и далеко не похоже вообще на числа.

[AD]

STilda в сообщении #336599 писал(а):

AD, на счет "стройности" возведения в комплексную степень я уже приводил ссылки. Многозначные функции и прочие ухищрения явно не стройность, и далеко не похоже вообще на числа.

Не нравится - не ешьте. Никто не заставляет.
Только название "возведение в степень" уже занято, ну и ничего, обойдётесь.

[ИСН]

Многозначные функции возникают не от этого, а раньше.
Впрочем, STilda, если Вам удастся придумать определение для комплексной степени безо всяких "неестественных" ухищрений, то мы ведь можем его принять за основное, а старое забыть.

[Shtirlic]

STilda в сообщении #336599 писал(а):

PAV, для того чтоб обсудить нелогичность того, как вводится степень для комплексных.
Вот возьмем $(a+b)^n=a^n+n a^{n-1}b+...+b^n$. Это логично и проверяется на практике (прямым пересчетом объектов). А теперь берем и говорим, пусть $n$ - комплексное число. Теперь пишем $(a+b)^{2i}=a^{2i}+2ia^{2i-1}b+...$. Это так сделали в формуле Эйлера. Я понимаю что так сделали. Но где здесь "жизненная причина" и соответствие практике?

Первый раз вижу, чтобы бином ньютона применяли при комплексной степени. А как разложить по биному $(a+b)^{2,5}$? Взяли, что разложение в ряд Тейлора для комплексных чисел такое же как и для вещественых (почему не знаю). Тогда:
$e^{ai}=1+\frac{ia}{1!}-\frac{a^2}{2!}-\frac{ia^3}{3!}+\frac{a^4}{4!}+\frac{ia^5}{5!}-...$
$\sin a=\frac{ia}{1!}-\frac{ia^3}{3!}+\frac{ia^5}{5!}-...$
$\cos a=1-\frac{a^2}{2!}+\frac{a^4}{4!}+...$
Тогда верно, что $e^{ai}=\cos a+i\sin a$. Это формула Эйлера. Тогда $2^i=e^{i\ln 2}=\cos (\ln 2)+i\sin (\ln 2)$. Вроде все нормально.

[STilda]

Следующие две системы одинаковы:
1. Операция сложения $+$. Элементы $ia,-a,-ia,+a$. Единица $0$. Операция поляризации в сложении (например взятие обратного элемента, взятие комплексно сопряженного элемента, взятие комплексного элемента) $-(-a)=+a, i(ia)=-a$
2. Операция умножения $*$. Элементы $a^i,a^-,a^{-i},a^+$. Единица $1$. Операция поляризации в умножении (возведение в степень, например взятие обратного, возведение в мнимую единицу) ${(a^-)}^-=a^+,{(a^i)}^i=a^-$.

Формула Эйлера олицетворяет попытку установить мостик между этими двумя изоморфными системами. Причем проэктируется элемент второй системы на первую систему: $e^i=x+iy$. Но, ввиду полного равноправия (симметрии) систем, можем записать зеркальную формулу Эйлера, когда элемент первой системы проэктируется на вторую систему: $ie=x^+*y^i$. Если принимаем первую формулу Эйлера, то из соображений симметрии должны принимать и вторую. Первая формула дает возможность "вычислить" $e^i$ в терминах первой системы, Вторая формула дает возможность "вычислить" $ie$ в терминах второй системы. Противоречат ли они друг другу? Если противоречат - значит это формула Эйлера вносит противоречие. Значит она будет не верной.

Несколько примеров показывающих полную симметрию:
1. $a-a=0$ соответствует $a^+*a^-=1$
2. $ia+0=ia$ соответствует $a^i*1=a^i$
3. $+(-a)=-a$ соответствует ${(a^-)}^+=a^-$

[PAV]

Кто-нибудь что-то понимает в вышенаписанном?

-- Сб июл 03, 2010 00:18:16 --

STilda
мне бы очень хотелось, чтобы Вы прокомментировали то, что Вам уже неоднократно пытаются разъяснить. А именно:

есть формула

$$ e^x=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!},\quad x\in\mathbb{R}, $$

которую можно принять за определение экспоненты.

В правую часть этой формулы можно наравне с действительными подставлять также любые комплексные числа. Получим сходящийся ряд, который можно (и совершенно естественно) принять за определение экспоненты с комплексным показателем.

Что Вам в этом непонятно?