Бесконечный спуск с доказательством для n = 3.

[Леонид Вайсруб]

$ \textbf{Бесконечный спуск}$

Для любого целого $ n > 2 $
сумма $x^{n} + y^{n},$ где $x$ и
$y$ - натуральные числа, не равна
$z^{n},$ где $z$ натуральное число.
Положим, без ограничения общности дальнейших рассуждений, что
$x > y, x = u + y, $ где $u$ -
натуральное число. Тогда сумма $x^{n} + y^{n},$
запишется в виде $ (u + y)^{n} + y^{n} = u^{n} + nu^{n - 1}y + [n(n - 1)/2]u^{n - 2}y^{2} + \ldots + nuy^{n - 1} + 2y^{n} = y^{n}( u^{n}/y^{n} + nu^{n - 1}/y^{n - 1} + [n(n - 1)/2]u^{n - 2}/y^{n - 2} + \ldots + nu/y + 2). $ Обозначим $ w = u/y. $ Тогда

$$ x^{n} + y^{n} = (u + y)^{n} + y^{n} = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2) \ne z^{n}. $$

Это
утверждение доказывается от противного. Предположим, что многочлен
$ y^{n}F(w) = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2) = z^{n} $,$ F(w) = w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 = z^{n}/y^{n} = \alpha^{n} $ где $ \alpha - $ рациональное положительное число. $ F(w) \ge 2 $ для $ w \ge 0 $. Необходимо найти рациональное
$ w = w_{0} $, при котором $ F(w) = F(w_{0}) = \alpha^{n} $. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия
из него правила (теоремы) Декарта многочлен $ F_{\alpha}(w) = w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 - \alpha^{n} $ имеет только один и притом строго
положительный корень, так как $ F_{\alpha}(w) $
имеет всего лишь одну перемену знаков в системе своих
коэффициентов [1]. Свободный член $ 2 - \alpha^{n} < 0, \alpha > \sqrt[n]{2} > 1 $. Подставив, в $ F_{\alpha}(w) = (w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} $ значение $ w = \alpha - 1 $, получим

$$ F_{\alpha}(\alpha - 1) = \alpha^{n} + 1 - \alpha^{n} = 1 > 0. $$

Затем, подставив, в $ F_{\alpha}(w) $
значение $ w = \alpha - 2 $ получим

$$ F_{\alpha}(\alpha - 2) = (\alpha - 1)^{n} + 1 - \alpha^{n}. $$

Так как $ \alpha > \sqrt[n]{2} > 1 $, то можно записать $ \alpha = 1 + \delta $, где $ \delta > 0. $ Тогда

$$ F_{\alpha}(\alpha - 2) = \delta^{n} + 1 - (\delta + 1)^{n} < 0 $$

.
Значит единственный положительный корень $ w_{0} $ многочлена $ F_{\alpha}(w) $, $ \alpha - 2 < w_{0} < \alpha - 1 $ не является целым числом и равен $ w_{0} = \alpha - 1 - \epsilon $, где $ 0 < \epsilon < 1 $
и $ \epsilon $ - рационально. Подставив $ w_{0} = \alpha - 1 - \epsilon $ в $ F_{\alpha}(w) = (w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим $ F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha - \epsilon)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $. Представив $ \alpha $ в
виде $ \alpha = \beta * \epsilon $, где
рациональная величина $ \beta > 1 $, и подставив в
уравнение $ F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha - \epsilon)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим уравнение
$ \beta^{n} - (\beta - 1)^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $. Собственно говоря, уравнение для бесконечного спуска
получено. Можно переписать это уравнение в виде $ (\beta + 1)^{n} - \beta^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $, т.е. замена
(сдвиг) $ \beta $ на $ \beta + 1 $
или в более симметричном виде

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n} - (\beta - \frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} ~~~~~~(*),$$

т.е. замена (сдвиг) $ \beta $ на $ \beta + \frac{1}{2}. $

$\textbf{Доказательство для n =3.}$

Рассмотрим уравнение (*) при $ n = 3 $.

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{3} - (\beta - \frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{\epsilon^{3}} ~~~~~~(**)$$

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем

$$ 3\beta^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{\epsilon^{3}} ~~~~~~(***)$$

Обозначим $ \frac{1}{\epsilon} = \omega $. Далее, обозначим левую часть
(***) через $ L $, т.е. $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4} $, а правую часть (***) через $ R $, т.е. $ R = R(\omega) = \omega ^{3} $. Функция $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4} $ есть парабола второго порядка, две ветви которой располагаются симметрично
относительно оси ординат, $ min(L) = L(\beta_{0}) = L(0) = \frac{1}{4} $
и все значения этой функции лежат в верхней полуплоскости, а функция $ R = R(\omega) = \omega ^{3} $ кубическая парабола. Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс одновременно изменяются аргументы $ \beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке в
первом квадранте (т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} = R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0} $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} = \omega_{0} $). В точке пересечения уравнение (***) можно записать в следующем
виде:

$$ \omega_{0}^{3} - 3\omega_{0}^{2} - \frac{1}{4} = 0 ~~~~~~~~ (i) $$

Сделав в (i) замену $ \omega_{0} = \gamma + 1 $, получим
уравнение

$$ \gamma^{3} - 3\gamma - \frac{9}{4} = 0 ~~~~~~~~ (ii) $$

Дискриминант (ii)$ D = - 108 (81/64 - 1) < 0 $.

Значит уравнение (ii) имеет один действительный корень и два
комплексно-сопряженных корня. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия из него правила
(теоремы) Декарта следует, что действительный корень строго
положительный [1]. По хорошо известной формуле для корней
кубического уравнения действительый корень $ \gamma_{0} $ равен

$$ \gamma_{0} = \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} - \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} = \frac{1}{2}(\sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}}) = 2,027279411... (iii) $$

Исходя из равенств $ \frac{1}{\epsilon} = \omega $ и $ \omega_{0} = \gamma_{0} + 1 $ получается, что $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \gamma_{0} + 1 = 3,027279411...$


Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $ \epsilon $ является иррациональным числом. $\emph{Доказательство доведено, как говорится, до числа. Дальше уж некуда!} $ Следовательно последняя низшая ступень
бесконечного спуска уравнения (*), начиная с любого значения
$ n > 3 $, приводит к выводу, что для любого целого
$ n > 2 $ сумма $x^{n} + y^{n},$ где
$x$ и $y$ - натуральные числа, не
равна $z^{n},$ где $z$ натуральное
число.

С помощью калькулятора в инженерном режиме нетрудно вычислить приближенные значения
иррационального числа $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ в
(*) для некоторых значений показателя степени $ n > 3$. Здесь ниже
приводятся значения $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ для
$ n = 4, 5, 6, 7 $.

$$ n = 4 ~~~~ \omega_{0} = 4,0606470275…… $$

.

$$ n = 5 ~~~~ \omega_{0} = 5,09634735462….. $$

.

$$ n = 6 ~~~~ \omega_{0} = 6,133187236122… $$

.

$$ n = 7 ~~~~ \omega_{0} = 7,17066879226….. $$

.

Наконец сам спуск практически нетрудно построить следующим
образом. Уравнение (*) переписывается в виде

$$ (\beta + \frac{1}{2})(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$

$$ \beta(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1}+ \frac{1}{2}(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - \beta(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} + \frac{1}{2}(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$

$$ \beta[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}]+ \frac{1}{2}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] ~~~~ (j1) $$

С другой стороны из уравнения общего вида (*) можно записать
уравнение для показателя степени $ n - 1 $

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n-1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{\epsilon^{n-1}} ~~~~~~(j2)$$

Сравнивая уравнения (j1) и (j2), становится
ясно, что

$$ \frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] = \frac{1}{\epsilon^{n - 1}}, $$

откуда снова получаем
уравнение (j2)

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n - 1}} $$

Далее, продолжая аналогичным
образом, спускаясь по лестнице, приходим к уравнению (***).



I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида

$$x^n + y^n = z^n ,~~~~ (1)$$

при этом $x, y, z, n$ - целые , $xyz \ne 0 , n \ge 1.$
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел $\matbb{Z}$ при различных значениях показателя $n$ [2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при $n = 1, 2$ имеет целочисленные решения. Например, при $n = 1$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 7,$ а при $n = 2$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 5$ удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при $n > 2$ не имеет натуральных
решений $x, y, z$, т.е. $ x^n + y^n \ne z^n $.
Доказательство этой старой задачи строится от противного, что и было изложено выше.

$ ~~~~ \textbf{\underline{\emph{Расширение задачи.}}} $

II. Далее, если рассматривать (1) для всех целых
$n$, то равенство в (1) возможно только для $n = \pm 1, \pm 2$. Легко видеть, при $n = 0$
(получается 2 = 1) равенство не выполняется.
Рассмотрим (1) с показателем степени $r = - n < 0$.

$$X^r + Y^r = Z^r,~~~~~~~~ X, Y, Z $$

- не равные нулю целые числа.
Нетрудно видеть, что для $r = -1$ равенство имеет место, например, при четных равных друг другу $X$ и $Y, X = Y = 2m, Z = m, | m | \ge 1, m$ - целое.
При $r = -2$ и, к примеру, при $X = 20, Y = 15$ и $Z = 12$ равенство (1) выполняется.
Пусть $r < -2$, тогда (1) запишется так:

$$\frac{1}{X^n} + \frac{1}{Y^n} = \frac{1}{Z^n}, ~~~~~~~~ (2)$$

где $n = - r$.
Ясно, что в (2) $X > Z$ и $Y > Z$.

$$X^n + Y^n = \frac{X^n * Y^n}{Z^n}~~~~ (3)$$

Пусть $( X * Y )/Z$ целое, тогда правая часть (3) есть $n$ - ая степень целого числа. Из доказанного выше в разделе I следует, что (3) не имеет целочисленных решений для всех значений показателя степени $n > 2$ и, следовательно, равенство (1) не выполняется для всех $r = -n < -2$, если $X, Y, Z$ - не равные нулю, целые числа.
III. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - рациональные, т.е. $x = p_{x}/q_{x}, y = p_{y}/q_{y}, z = p_{z}/q_{z} $, где
$p_{x}, q_{x}, p_{y}, q_{y}, p_{z}, q_{z}$ - целые,
не равные нулю, числа.
IV. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - иррациональные.
V. Пусть в (1) для
всех целых $n$, числа $x, y, z$ -
комплексные, т.е. $x = \alpha_{x} + i\beta_{x}, y = \alpha_{y} + i\beta_{y}, z = \alpha_{z} + i\beta_{z} $,
где $i = \sqrt{-1}$, а числа $\alpha_{x}, \beta_{x}, \alpha_{y}, \beta_{y}, \alpha_{z}, \beta_{z}$ -
вещественные.

Для задач III, IV, V определить условия равенства.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, изд. 9-е, 1968.

2. Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. -М.: МИР, 1980.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высшая школа, 1979.

4. Блинов В. Ф. Великая теорема Ферма: Исследование проблемы -М.: Изд-во ЛКИ,2008.

5. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. -М.: Наука, 1978.

6. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. -М : Мир, 2003.

[migmit]

Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):

Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $\epsilon $ является иррациональным числом.

Не вытекает. Вы доказали, по существу, следующее: если выполняется уравнение

Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):

$$ 3\beta^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{\epsilon^{3}}$$

и при этом $\beta=\frac1\epsilon$, то $\epsilon$ не может быть рациональным. Ну, а если они не равны?
Дальше пока не читал.

[r-aax]

Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):

(т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} = R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0} $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} = \omega_{0} $).

Про равенство значений аргументов ничего сказать нельзя.

Это все равно, что переписать уравнение $x^n + y^n = z^n$ в виде $\alpha^n = 1 - \beta^n, \ \alpha, \beta \in \mathbb{Q}$ и применить такое же рассуждение про равенство аргументов.

P.S. Кстати, Вы смотрели, что получается в случае $n=2$ (я имею в виду, какие значения принимают Ваши ранее определенные константы)?

[Леонид Вайсруб]

$ \textbf{Бесконечный спуск}$

Для любого целого $ n > 2 $
сумма $x^{n} + y^{n},$ где $x$ и
$y$ - натуральные числа, не равна
$z^{n},$ где $z$ натуральное число.
Положим, без ограничения общности дальнейших рассуждений, что
$x > y, x = u + y, $ где $u$ -
натуральное число. Тогда сумма $x^{n} + y^{n},$
запишется в виде $ (u + y)^{n} + y^{n} = u^{n} + nu^{n - 1}y + [n(n - 1)/2]u^{n - 2}y^{2} + \ldots + nuy^{n - 1} + 2y^{n} = y^{n}( u^{n}/y^{n} + nu^{n - 1}/y^{n - 1} + [n(n - 1)/2]u^{n - 2}/y^{n - 2} + \ldots + nu/y + 2). $ Обозначим $ w = u/y. $ Тогда

$$ x^{n} + y^{n} = (u + y)^{n} + y^{n} = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2) \ne z^{n}. $$

Это
утверждение доказывается от противного. Предположим, что многочлен
$ y^{n}F(w) = y^{n}(w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2) = z^{n} $,$ F(w) = w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 = z^{n}/y^{n} = \alpha^{n} $ где $ \alpha - $
рациональное положительное число. $ F(w) \ge 2 $
для $ w \ge 0 $. Необходимо найти рациональное
$ w = w_{0} $, при котором $ F(w) = F(w_{0}) = \alpha^{n} $. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия
из него правила (теоремы) Декарта многочлен $ F_{\alpha}(w) = w^{n} + nw^{n - 1} + [n(n - 1)/2]w^{n - 2} + \ldots + nw + 2 - \alpha^{n} $ имеет только один и притом строго
положительный корень, так как $ F_{\alpha}(w) $
имеет всего лишь одну перемену знаков в системе своих
коэффициентов [1]. Свободный член $ 2 - \alpha^{n} < 0, \alpha > \sqrt[n]{2} > 1 $. Подставив, в $ F_{\alpha}(w) = (w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} $ значение $ w = \alpha - 1 $, получим

$$ F_{\alpha}(\alpha - 1) = \alpha^{n} + 1 - \alpha^{n} = 1 > 0. $$

Затем, подставив, в $ F_{\alpha}(w) $
значение $ w = \alpha - 2 $ получим

$$ F_{\alpha}(\alpha - 2) = (\alpha - 1)^{n} + 1 - \alpha^{n}. $$

Так как $ \alpha > \sqrt[n]{2} > 1 $, то можно записать $ \alpha = 1 + \delta $, где $ \delta > 0. $ Тогда

$$ F_{\alpha}(\alpha - 2) = \delta^{n} + 1 - (\delta + 1)^{n} < 0 $$

.
Значит единственный положительный корень $ w_{0} $ многочлена $ F_{\alpha}(w) $, $ \alpha - 2 < w_{0} < \alpha - 1 $ не является целым числом и равен $ w_{0} = \alpha - 1 - \epsilon $, где $ 0 < \epsilon < 1 $
и $ \epsilon $ - рационально. Подставив $ w_{0} = \alpha - 1 - \epsilon $ в $ F_{\alpha}(w) = (w + 1)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим $ F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha - \epsilon)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $. Представив $ \alpha $ в
виде $ \alpha = \beta * \epsilon $, где
рациональная величина $ \beta > 1 $, и подставив в
уравнение $ F_{\alpha}(w) = F_{\alpha}(w_{0}) = (\alpha - \epsilon)^{n} + 1 - \alpha^{n} = 0 $, получим уравнение
$ \beta^{n} - (\beta - 1)^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $. Собственно говоря, уравнение для бесконечного спуска
получено. Можно переписать это уравнение в виде $ (\beta + 1)^{n} - \beta^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $, т.е. замена
(сдвиг) $ \beta $ на $ \beta + 1 $
или в более симметричном виде

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n} - (\beta - \frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{\epsilon^{n}} ~~~~~~(*),$$

т.е. замена (сдвиг) $ \beta $ на $ \beta + \frac{1}{2}. $

$\textbf{Доказательство для n =3.}$

Рассмотрим уравнение (*) при $ n = 3 $.

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{3} - (\beta - \frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{\epsilon^{3}} ~~~~~~(**)$$

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем

$$ 3\beta^{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{\epsilon^{3}} ~~~~~~(***)$$

Обозначим $ \frac{1}{\epsilon} = \omega $. Далее, обозначим левую часть
(***) через $ L $, т.е. $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4} $, а правую часть (***) через $ R $, т.е. $ R = R(\omega) = \omega ^{3} $. Функция $ L = L(\beta) = 3\beta^{2} + \frac{1}{4} $ есть парабола второго порядка, две ветви которой располагаются симметрично
относительно оси ординат, $ min(L) = L(\beta_{0}) = L(0) = \frac{1}{4} $
и все значения этой функции лежат в верхней полуплоскости, а функция $ R = R(\omega) = \omega ^{3} $ кубическая парабола. Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс, принимая одинаковые значения одновременно, изменяются аргументы $ \beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке в
первом квадранте (т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} = R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0} $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} = \omega_{0} $). В точке пересечения уравнение (***) можно записать в следующем
виде:

$$ \omega_{0}^{3} - 3\omega_{0}^{2} - \frac{1}{4} = 0 ~~~~~~~~ (i) $$

Сделав в (i) замену $ \omega_{0} = \gamma + 1 $, получим
уравнение

$$ \gamma^{3} - 3\gamma - \frac{9}{4} = 0 ~~~~~~~~ (ii) $$

Дискриминант (ii)$ D = - 108 (81/64 - 1) < 0 $.

Значит уравнение (ii) имеет один действительный корень и два
комплексно-сопряженных корня. Согласно теоремы Бюдана-Фурье и следствия из него правила
(теоремы) Декарта следует, что действительный корень строго
положительный [1]. По хорошо известной формуле для корней
кубического уравнения действительый корень $ \gamma_{0} $ равен

$$ \gamma_{0} = \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} - \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} = \frac{1}{2}(\sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}}) = 2,027279411... (iii) $$

Исходя из равенств $ \frac{1}{\epsilon} = \omega $ и $ \omega_{0} = \gamma_{0} + 1 $ получается, что $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \gamma_{0} + 1 = 3,027279411...$


Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $ \epsilon $ является иррациональным числом. $\emph{Доказательство доведено, как говорится, до числа. Дальше уж некуда!} $ Следовательно последняя низшая ступень
бесконечного спуска уравнения (*), начиная с любого значения
$ n > 3 $, приводит к выводу, что для любого целого
$ n > 2 $ сумма $x^{n} + y^{n},$ где
$x$ и $y$ - натуральные числа, не
равна $z^{n},$ где $z$ натуральное
число.

С помощью калькулятора в инженерном режиме нетрудно вычислить приближенные значения
иррационального числа $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ в
(*) для некоторых значений показателя степени $ n > 3$. Здесь ниже
приводятся значения $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \beta _{0} $ для
$ n = 4, 5, 6, 7 $.

$$ n = 4 ~~~~ \omega_{0} = 4,0606470275…… $$

.

$$ n = 5 ~~~~ \omega_{0} = 5,09634735462….. $$

.

$$ n = 6 ~~~~ \omega_{0} = 6,133187236122… $$

.

$$ n = 7 ~~~~ \omega_{0} = 7,17066879226….. $$

.

Наконец сам спуск практически нетрудно построить следующим
образом. Уравнение (*) переписывается в виде

$$ (\beta + \frac{1}{2})(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$

$$ \beta(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1}+ \frac{1}{2}(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - \beta(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} + \frac{1}{2}(\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$

$$ \beta[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}]+ \frac{1}{2}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] = \frac{1}{\epsilon^{n}} $$

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] ~~~~ (j1) $$

С другой стороны из уравнения общего вида (*) можно записать
уравнение для показателя степени $ n - 1 $

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n-1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n-1} = \frac{1}{\epsilon^{n-1}} ~~~~~~(j2)$$

Сравнивая уравнения (j1) и (j2), становится
ясно, что

$$ \frac{1}{\beta \epsilon^{n}} - \frac{1}{2\beta}[(\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} + (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1}] = \frac{1}{\epsilon^{n - 1}}, $$

откуда снова получаем
уравнение (j2)

$$ (\beta + \frac{1}{2})^{n - 1} - (\beta - \frac{1}{2})^{n - 1} = \frac{1}{\epsilon^{n - 1}} $$

Далее, продолжая аналогичным
образом, спускаясь по лестнице, приходим к уравнению (***).



I. Рассмотрим однородное диофантово уравнение вида

$$x^n + y^n = z^n ,~~~~ (1)$$

при этом $x, y, z, n$ - целые , $xyz \ne 0 , n \ge 1.$
Постановка задачи - принадлежат ли решения этого уравнения кольцу целых чисел $\matbb{Z}$ при различных значениях показателя $n$ [2],[3],[4],[5],[6].
Нетрудно видеть, что уравнение (1) при $n = 1, 2$ имеет целочисленные решения. Например, при $n = 1$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 7,$ а при $n = 2$ значения $x = 4, y = 3$ и $z = 5$ удовлетворяют уравнению (1).
Далее утверждается, что уравнение (1) при $n > 2$ не имеет натуральных
решений $x, y, z$, т.е. $ x^n + y^n \ne z^n $.
Доказательство этой старой задачи строится от противного, что и было изложено выше.

\textbf{\underline{\emph{Расширение задачи.}}}

II. Далее, если рассматривать (1) для всех целых
$n$, то равенство в (1) возможно только для $n = \pm 1, \pm 2$. Легко видеть, при $n = 0$
(получается 2 = 1) равенство не выполняется.
Рассмотрим (1) с показателем степени $r = - n < 0$.

$$X^r + Y^r = Z^r,~~~~~~~~ X, Y, Z $$

- не равные нулю целые числа.
Нетрудно видеть, что для $r = -1$ равенство имеет место, например, при четных равных друг другу $X$ и $Y, X = Y = 2m, Z = m, | m | \ge 1, m$ - целое.
При $r = -2$ и, к примеру, при $X = 20, Y = 15$ и $Z = 12$ равенство (1) выполняется.
Пусть $r < -2$, тогда (1) запишется так:

$$\frac{1}{X^n} + \frac{1}{Y^n} = \frac{1}{Z^n}, ~~~~ (2)$$

где $n = - r$.
Ясно, что в (2) $X > Z$ и $Y > Z$.

$$X^n + Y^n = \frac{X^n * Y^n}{Z^n}~~~~ (3)$$

Пусть $( X * Y )/Z$ целое, тогда правая часть (3) есть $n$ - ая степень целого числа. Из доказанного выше в разделе I следует, что (3) не имеет целочисленных решений для всех значений показателя степени $n > 2$ и, следовательно, равенство (1) не выполняется для всех $r = -n < -2$, если $X, Y, Z$ - не равные нулю, целые числа.
III. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - рациональные, т.е. $x = p_{x}/q_{x}, y = p_{y}/q_{y}, z = p_{z}/q_{z} $, где
$p_{x}, q_{x}, p_{y}, q_{y}, p_{z}, q_{z}$ - целые,
не равные нулю, числа.
IV. Пусть в (1) для всех целых $n$, числа
$x, y, z$ - иррациональные.
V. Пусть в (1) для
всех целых $n$, числа $x, y, z$ -
комплексные, т.е. $x = \alpha_{x} + i\beta_{x}, y = \alpha_{y} + i\beta_{y}, z = \alpha_{z} + i\beta_{z} $,
где $i = \sqrt{-1}$, а числа $\alpha_{x}, \beta_{x}, \alpha_{y}, \beta_{y}, \alpha_{z}, \beta_{z}$ -
вещественные.

Для задач III, IV, V определить условия равенства.



1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, изд. 9-е, 1968.

2. Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в
алгебраическую теорию чисел. -М.: МИР, 1980.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. -М.: Высшая школа,
1979.

4. Блинов В. Ф. Великая теорема Ферма: Исследование проблемы -М.: Изд-во
ЛКИ,2008.

5. Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических
чисел. -М.: Наука, 1978.

6. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. -М : Мир, 2003.

[12d3]

Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):

Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс одновременно изменяются аргументы $ \beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке в
первом квадранте (т.е. значения функций $ L $ и $ R $ в
этой точке пересечения равны, $ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} = R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0} $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} = \omega_{0} $

Вы считаете,что из того, что $\beta^2+\frac14=\omega^3$ следует $\beta=\omega$? Вот вам контрпример: $\beta=1\,\,\,\,\, \omega=\sqrt[3]{\frac{13}4}$

[r-aax]

Леонид Вайсруб в сообщении #334931 писал(а):

Ясно, что кривые ( графики
функций $ L $ и $ R $ ) на одной и той же плоскости
декартовых координат, где вдоль оси абсцисс, принимая одинаковые значения одновременно, изменяются аргументы $ \beta $ и $ \omega $, а вдоль оси ординат отмечаются значения
функций $ L $ и $ R $, пересекаются только в одной точке...

По сравнению с первоначальным доказательством в этом измененном варианте просто добавилась фраза "принимая одинаковые значения". Почему они должны принимать одинаковые значения?

[Виктор Ширшов]

r-aax в сообщении #334966 писал(а):

По сравнению с первоначальным доказательством в этом измененном варианте просто добавилась фраза "принимая одинаковые значения". Почему они должны принимать одинаковые значения?

Подход тот же и список на "литературу" прежний.

[r-aax]

Виктор Ширшов в сообщении #335155 писал(а):

r-aax в сообщении #334966 писал(а):

По сравнению с первоначальным доказательством в этом измененном варианте просто добавилась фраза "принимая одинаковые значения". Почему они должны принимать одинаковые значения?

Подход тот же и список на "литературу" прежний.

Доказательство для случая "если не принимают одинакового значения" отсутствует.

[age]

Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):

По хорошо известной формуле для корней
кубического уравнения действительый корень $ \gamma_{0} $ равен

$$ \gamma_{0} = \sqrt[3]{\frac{9}{8} + \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} + \sqrt[3]{\frac{9}{8} - \sqrt{\frac{81}{64} - 1}} = \frac{1}{2}(\sqrt[3]{9 + \sqrt{17}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{17}}) = 2,027279411... (iii) $$

Исходя из равенств $ \frac{1}{\epsilon} = \omega $ и $ \omega_{0} = \gamma_{0} + 1 $ получается, что $ \omega_{0} = \frac{1}{\epsilon} = \gamma_{0} + 1 = 3,027279411...$
Из вышеизложенного вытекает, что в уравнении (***) $ \epsilon $ является иррациональным числом.

А $\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}$ является иррациональным числом?

[Виктор Ширшов]

Леонид Вайсруб в сообщении #328614 писал(а):

С помощью калькулятора в инженерном режиме нетрудно вычислить приближенные значения
иррационального числа

А Ферма, наверное, вычислял значения с помощью счётных машинок (суммирующей и множительной), изготовленных за пять лет до его смерти Самюэлем Морлендом.

Леонид Вайсруб в сообщении #334931 писал(а):

V. Пусть в (1) для
всех целых $n$, числа $x, y, z$ - комплексные

По моему, расширять задачу комплексными числами - излишне, ибо они появились, вроде как благодаря Эйлеру, жившему столетием позже Ферма.

(Оффтоп)

Леонид Вайсруб. Куда Вы каждый раз пропадаете? Или работы в ВНИИнефть много?

[Коровьев]

Леонид Вайсруб в сообщении #334931 писал(а):

$ L(\beta_{0}) = 3\beta_{0}^{2} + \frac{1}{4} = R(\omega_{0}) = \omega_{0}^{3} $ и значения аргументов $ \beta_{0} $ и $ \omega_{0} $ равны между собой, т.е. $ \beta_{0} = \omega_{0} $).

Ну это просто праздник логики!
Я щас такой методой такого наподоказываю, что все ахнут! Тока бы успеть, пока не опередили.