Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

[p0lk1l0]

Уважаемые форумчане, помогие разобраться с задачей.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность $f_n(x) $на заданном множестве.
$E:f_n(x)=\frac{x}{x+n}}$, $E=[0;+\infty);$

Мое решение выглядит так:
1) Я данную посл-ть умножаю на $\frac{1 }{x}}$: получаю $\frac{x}{x+n}\cdot \frac{1}{x} $= сокращаем x, и получаю посл-ть $\frac{1}{x+n}$, я так могу сделать, т.к. если посл-ть сходится/расходится, то с точностью до множителя.
2) Мажорирующим рядом этой посл-ти явл-ся ряд $\frac{1 }{n}}$, т.к. $|U_n|\le a_n$, т.е. $|\frac{1}{x+n}|\le \frac{1}{n}$
3) Следовательно, исследованная посл-ть расходится, т.к. ряд $\frac{1}{n}}$ расх-ся, т.к. $p=1$.

Так? Если что не так, поправьте плз)

З.Ы. Я здесь новенький, если что не так, сильно не пинать)
З.Ы.Ы. Все оформил как надо)

[gris]

У Вас же не ряд, а последовательнность?
Последовательность сходится (поточечно), если мажоранта и миноранта сходятся к одному и тому же. Миноранта очевидна.

Ну я так и подумал. В принципе мажоранту нашли правильно. $\dfrac Cn \to 0$
Поточечно сходится. Вот если бы $C$ не зависело от $x$, то сразу бы сказали о равномерной сходимости, а так - кто же знает. Достаточный признак не работает.

[p0lk1l0]

Да, я спутался, у меня дана последовательность. С данным заданием я знаком очень поверхностно, решение получилось только такое, больше ничего не смог придумать)

[Полосин]

1. Найдите поточечный предел последовательности.
2. Напишите критерий равномерной сходимости последовательности - через точную верхнюю грань остатка. Найдите это значение и посмотрите, что получится.

[p0lk1l0]

Спасибо за совет, сейчас попробую.

[p0lk1l0]

У меня как то так получилось:
1) Ищем поточечный предел:
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x}{x+n}=\frac{1}{1+\frac{n}{x}}=0$ это значит что посл-ть поточечно сходится.
2)Как я помню, критерий равномерной сходимости последовательности, это: $sup|f_n(x)-f(x)|\to 0, n\to \infty, x\in E$

1.Правильно ли я проверил на поточечную сходимость?
2. Если кто поможет найти супремум, то я буду очень благодарен , не знаю как его найти.

[Полосин]

1. Правильно - с единственным замечанием, что при $x=0$ промежуточное равенство недопустимо, хотя ответ тот же.
2. С поиском супремума в данном случае вы прекрасно справитесь и сами, это тривиальная школьная задача.

[ewert]

p0lk1l0 в сообщении #336538 писал(а):

Если кто поможет найти супремум,

поищите предел при больших иксах -- он уж никак не меньше супремума (во всяком случае)

[p0lk1l0]

Исходя из своих размышлений, я получил, что супремум стремится к 0 при n стремящаяся к бесконечности, и в итоге получил что $f_n(x)$ монотонно стремится к $f(x)$. И по решению всей задачи получается, что данная функц. последовательность сходится поточечно и равномерно?

[Полосин]

Опубликуйте, пожалуйста, свои размышления.

[ewert]

p0lk1l0 в сообщении #336592 писал(а):

супремум стремится к 0 при n стремящаяся к бесконечности,

А чему он фактически равен при каждом эн?...

[p0lk1l0]

Оказывается мои размышления были не правильными, сегодня с преподом разобрали:

Получается так:
1) Ищем предел:$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x}{x+n}=\frac{1}{1+\frac{n}{x}}=0$ это значит что посл-ть поточечно сходится.
2) Проверяем на равномерную сходимость, должно выполняться:$sup|f_n(x)-f(x)|\to 0, n\to \infty, x\in E$
а)Т.е. должно выполняться это: $sup|\frac{x}{x+n}|\to 0, x\in E$
б)Взяли производную от функции и получилось:$ f_n'(x)=\frac{n}{(x+n)^2}$
в)И ищем, при каких $x$, $f_n'(x)$, будет равняться нулю - этот шаг я не понял, помогите разобраться.
г)$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+n}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{n}{x}}=1$
д)Получается, что данная функциональная последовательность сходится поточечно, а равномерно не сходится. Пример решен.

Также появилась у меня еще одна задача подобного типа, текст задания звучит также, а пример другой, у меня с ним возникли затруднения:
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность $f_n(x) $на заданном множестве.
$E:f_n(x)=\frac{n\cdot x}{1+n^2\cdot x^2}$, $E=[0;+\infty);$

1) Ищем предел:$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\cdot x}{1+n^2\cdot x^2}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x}{\frac{1}{n}+n\cdot x^2}=0$ это значит что посл-ть поточечно сходится.
2) Проверяем на равномерную сходимость, должно выполняться:$sup|f_n(x)-f(x)|\to 0, n\to \infty, x\in E$
а)Т.е. должно выполняться это: $sup|\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2}|\to 0, x\in E$
б)Взяли производную от функции и получилось:$ f_n'(x)=(\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2})'=\frac{n^2-2\cdot n^3\cdot x^2}{(1+n^2 \cdot x^2)^2}$
в)И ищем, при каких $x$, $f_n'(x)$, будет равняться нулю - этот шаг я опять не понял, но препод подсказал - мы должны найти супремум от функции, при каких $x$ функция будет максимальна, а исследовать с помощью производных(со школы я подзабыл что именно делать, напомните плиз).
$f_n'(x)$ приравниваю к нулю и получаю: $\frac{n^2-2\cdot n^3\cdot x^2}{(1+n^2 \cdot x^2)^2}$=0, далее решаю относительно $x$, числитель приравниваю к нулю и получаю, что при $x=\pm \frac{1}{2\cdot \sqrt n}$ производная будет равна 0. Что дальше мне с ней делать?
г)$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{n}{n^2 \cdot x}=0$

[ewert]

p0lk1l0 в сообщении #336647 писал(а):

$f_n'(x)$ приравниваю к нулю и получаю: $\frac{n^2-2\cdot n^3\cdot x^2}{(1+n^2 \cdot x^2)^2}$=0, далее решаю относительно $x$, числитель приравниваю к нулю и получаю, что при $x=\pm \frac{1}{2\cdot \sqrt n}$ производная будет равна 0. Что дальше мне с ней делать?

Производная неверна.

Что значит "что дальше"?... Вам же нужен глобальный максимум, так?... Ну так вот Вы единственную точку экстремума и найдёте (после того, как исправите производную, конечно).

[p0lk1l0]

Производную ведь берем относительно x?

так? $\frac {(n-x^2\cdot n^3)}{(1+x^2\cdot n^2)^2}$

И я получу, что производная равна нулю при $x= \pm \frac{1}{n}$ так?

[p0lk1l0]

Далее рисуем числовую прямую, расставляем знаки. И получается, что $\frac{1}{n}$ является точкой максимума.
Значит, при $x=\frac{1}{n}$, функция является максимальной, а $n \to \infty$.

Мои рассуждения верны? Если да, что дальше делаем?)