Оказывается мои размышления были не правильными, сегодня с преподом разобрали:
Получается так:
1) Ищем предел:
![$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x}{x+n}=\frac{1}{1+\frac{n}{x}}=0$ $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x}{x+n}=\frac{1}{1+\frac{n}{x}}=0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/e/02e9dea417027287160deaa073092a9e82.png)
это значит что посл-ть поточечно сходится.
2) Проверяем на равномерную сходимость, должно выполняться:
![$sup|f_n(x)-f(x)|\to 0, n\to \infty, x\in E$ $sup|f_n(x)-f(x)|\to 0, n\to \infty, x\in E$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/3/be3338dd615f9ece95c0a05d6c90552a82.png)
а)Т.е. должно выполняться это:
![$sup|\frac{x}{x+n}|\to 0, x\in E$ $sup|\frac{x}{x+n}|\to 0, x\in E$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/aca2e72c906500a35592df5d7dd37f9882.png)
б)Взяли производную от функции и получилось:
![$ f_n'(x)=\frac{n}{(x+n)^2}$ $ f_n'(x)=\frac{n}{(x+n)^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/4/a4478ed373d62c563fbf9c9e692f3bcd82.png)
в)И ищем, при каких
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
![$f_n'(x)$ $f_n'(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/4/f34a1e996fafed9bd9f332caab0d98b382.png)
, будет равняться нулю - этот шаг я не понял, помогите разобраться.
г)
![$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+n}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{n}{x}}=1$ $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+n}=\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+\frac{n}{x}}=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/d/d7d82d3b5e115162a6bb2b7ff4f20a8882.png)
д)Получается, что данная функциональная последовательность сходится поточечно, а равномерно не сходится. Пример решен.
Также появилась у меня еще одна задача подобного типа, текст задания звучит также, а пример другой, у меня с ним возникли затруднения:
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность
![$f_n(x) $ $f_n(x) $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/5/8552a72b39ad368c085ac35185c0317082.png)
на заданном множестве.
![$E:f_n(x)=\frac{n\cdot x}{1+n^2\cdot x^2}$ $E:f_n(x)=\frac{n\cdot x}{1+n^2\cdot x^2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/f/8cf2f4289e474ff7df5784172314a11382.png)
,
![$E=[0;+\infty);$ $E=[0;+\infty);$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/4/e7442d8d09d66dc1abdfa1b5efb480f982.png)
1) Ищем предел:
![$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\cdot x}{1+n^2\cdot x^2}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x}{\frac{1}{n}+n\cdot x^2}=0$ $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n\cdot x}{1+n^2\cdot x^2}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x}{\frac{1}{n}+n\cdot x^2}=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/1/f31f03c4830c711a466c36ecf04460af82.png)
это значит что посл-ть поточечно сходится.
2) Проверяем на равномерную сходимость, должно выполняться:
![$sup|f_n(x)-f(x)|\to 0, n\to \infty, x\in E$ $sup|f_n(x)-f(x)|\to 0, n\to \infty, x\in E$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/e/3/be3338dd615f9ece95c0a05d6c90552a82.png)
а)Т.е. должно выполняться это:
![$sup|\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2}|\to 0, x\in E$ $sup|\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2}|\to 0, x\in E$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21f771f832b65b2ec55b4b68c3edaf0f82.png)
б)Взяли производную от функции и получилось:
![$ f_n'(x)=(\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2})'=\frac{n^2-2\cdot n^3\cdot x^2}{(1+n^2 \cdot x^2)^2}$ $ f_n'(x)=(\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2})'=\frac{n^2-2\cdot n^3\cdot x^2}{(1+n^2 \cdot x^2)^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/f/a3fa18f715ceac1cfbfc8ff8e501573b82.png)
в)И ищем, при каких
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
,
![$f_n'(x)$ $f_n'(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/4/f34a1e996fafed9bd9f332caab0d98b382.png)
, будет равняться нулю - этот шаг я опять не понял, но препод подсказал - мы должны найти супремум от функции, при каких
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
функция будет максимальна, а исследовать с помощью производных(со школы я подзабыл что именно делать, напомните плиз).
![$f_n'(x)$ $f_n'(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/4/f34a1e996fafed9bd9f332caab0d98b382.png)
приравниваю к нулю и получаю:
![$\frac{n^2-2\cdot n^3\cdot x^2}{(1+n^2 \cdot x^2)^2}$=0 $\frac{n^2-2\cdot n^3\cdot x^2}{(1+n^2 \cdot x^2)^2}$=0](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/9/fb945606be90cbba0edffb82e438f45b82.png)
, далее решаю относительно
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
, числитель приравниваю к нулю и получаю, что при
![$x=\pm \frac{1}{2\cdot \sqrt n}$ $x=\pm \frac{1}{2\cdot \sqrt n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/c/15ca02c8a8e855c03abb99a4ae87fb2d82.png)
производная будет равна 0. Что дальше мне с ней делать?
г)
![$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{n}{n^2 \cdot x}=0$ $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{n \cdot x}{1+n^2 \cdot x^2}=\lim\limits_{x \to \infty}\frac{n}{n^2 \cdot x}=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/2/5f283bcabee51db879b175bfe371bef682.png)