Забавное неравенство

[neo66]

В точке $x=5$ она равна $9.56$

[Sasha2]

Понятно, спасибо, значит и таким образом не получается.
А вот еще тоже хотелось узнать, вот есть ли какая-нибудь литература по такому вот вопросу:

Например, мы пишем $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$, а вот насколько конкретно больше, то есть имеются ли какие-либо удобно используемые оценки того насколько среднее арифметическое больше среднего геометрического (ну это в данном примере).

[ИСН]

Ну как. Вот здесь (показывает пальцем) достигается равенство. Теперь придумайте меру удаления от этой точки, и в зависимости от неё...

[Sasha2]

Да нет, Вы знаете уважаемый ИСН, тут хотелось бы просто хотя бы на первых порах получить качественный ответ, почему некоторые неравенства доказываются влет, а некоторые (ну вот как это) с огромным скрипом. Где тот зазор, который в первом случае велик, а во втором очень мал. Можно ли его как-то характеризовать? Или как вот у тех, кто решает эти неравенство профессионально, количественно выражать то, что они говорят, что вот это неравенство более шарпное (sharper) чем то.

[Nilenbert]

Sasha2 в сообщении #336333 писал(а):

Например, мы пишем $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$, а вот насколько конкретно больше, то есть имеются ли какие-либо удобно используемые оценки того насколько среднее арифметическое больше среднего геометрического (ну это в данном примере).

Sasha2 в сообщении #336373 писал(а):

Да нет, Вы знаете уважаемый ИСН, тут хотелось бы просто хотя бы на первых порах получить качественный ответ, почему некоторые неравенства доказываются влет, а некоторые (ну вот как это) с огромным скрипом. Где тот зазор, который в первом случае велик, а во втором очень мал. Можно ли его как-то характеризовать? Или как вот у тех, кто решает эти неравенство профессионально, количественно выражать то, что они говорят, что вот это неравенство более шарпное (sharper) чем то.

Это оно то доказывается с огромным скрипом? Смотрите: при $x,y,z\ge 0$:

$$ x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=\frac{x+y+z}{2}((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\ge 0 $$

$$ x^3+y^3+z^3\ge 3xyz $$

[Sasha2]

Вы просто не в теме.
Соизвольте уж тогда все посты до этого перечитать, уважаемый Nilenbert.
Ну, конечно, я не это неравенство имел в виду, а предыдущее от уважаемого Аркадия.
Попробуйте его с такой же легкостью доказать и тогда мы снимем перед Вами шляпу.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #336333 писал(а):

Например, мы пишем $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$, а вот насколько конкретно больше,

Всегда можно усилить. Например, так:
Для неотрицательных $a,$ $b$ и $c$ докажите, что

$$\frac{a+b+c}{3}- \sqrt[3]{abc}\geq1.5\left(\sqrt[6]a-\sqrt[6]b\right)^2\left(\sqrt[6]a-\sqrt[6]c\right)^2\left(\sqrt[6]b-\sqrt[6]c\right)^2$$

А вот такая радость

$$\frac{a^6+b^6+c^6}{3}-a^2b^2c^2\geq\frac{1}{6}(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2$$

верна уже для всех действительных $a,$ $b$ и $c.$
(равенство достигается ещё, например, когда $a=-b$ и $c=0$)

[Sasha2]

Интересно, а это уважаемый Аркадий Вы утверждаете, что вообщем можно любое неравенство усилить?

[arqady]

Sasha2 в сообщении #337136 писал(а):

Интересно, а это уважаемый Аркадий Вы утверждаете, что вообщем можно любое неравенство усилить?

Конечно можно, если оно может быть когда-нибудь строгим.
Ведь если $a>b$, то $a>\frac{a+b}{2}>b$.

[Sasha2]

А вот еще тоже такой вопрос.
Верно ли, что если у нас имеется некоторое верное неравенство, то тогда существует такая запись этого неравенства в форме AM-GM (Чебышев, Гельдер, КОши-Шварц и так далее), только мы ее не можем найти.
( Несколько глобальнее, можно ли утверждать, что всякое верное неравенство есть следствие всякого другого верного неравенства?)

И еще Ваше утверждение насчет усиления. Вы так и неравенство Бернулли (классическое) $(1+x)^{\alpha} \le 1+\alpha x, (0<\alpha<1, x \ge-1)$ можете усилить?

[arqady]

Sasha2 в сообщении #337139 писал(а):

А вот еще тоже такой вопрос.
Верно ли, что если у нас имеется некоторое верное неравенство, то тогда существует такая запись этого неравенства в форме AM-GM (Чебышев, Гельдер, КОши-Шварц и так далее), только мы ее не можем найти.

Попытайтесь точно сформулировать, что Вы хотите сказать.

Sasha2 в сообщении #337139 писал(а):

( Несколько глобальнее, можно ли утверждать, что всякое верное неравенство есть следствие всякого другого верного неравенства?)

Как истинность импликации, то, конечно, да! В смысле же транзитивности отношения больше, то, опять же, нужна точная формулировка того, что Вы хотите.
Позвольте спросить, зачем Вам вся эта философия? Мне лично больше импонирует доказывать неравенства.

[Sasha2]

Мне тоже. Но я не могу понять, чего мне не хватает.
Может быть нужна алгебраическая подготовка (университетския уровень) или доказательство этих неравенств (я Ваши неравенства (а они весьма и весьма трудные) так и называю неравенства от Аркадия) требует огромного опыта.
Создается впечатление, что никаких общих методов нет, можно только примерять классические неравенства, пытаясь угадать в предложенном для доказательства неравенства то или иное классическое неравенство. Вот и хочется узнать всегда ли такой путь (хотя бы в принципе) может приводить к успеху, или это сплошное казино - повезет не повезет?

[arqady]

Sasha2 в сообщении #337142 писал(а):

Мне тоже.
Создается впечатление, что никаких общих методов нет...

Правильное впечатление!

Sasha2 в http://dxdy.ru/post337142.html#p337142 писал(а):

... или это сплошное казино - повезет не повезет?

Именно так оно и есть. Как в жизни: попал в струю - победил! Вопрос же, как это на самом деле произошло, как правило остаётся открытым (я не имею здесь в виду иллюзию "закономерности" победы, когда постфактум все мы очень умны).
Для примитивных неравенств, понятно, есть методы (типа метода Лагранжа для условных неравенств).
С каждым новым методом, примитивизирующем целую группу неравенств, воникают новые неравенства, которые этим методом уже не доказываются и надо искать что-то новое и т.д.
Вам совет. Возьмите какой-то метод и освойте его.
Например, SOS. Лично у меня есть иллюзия, что любое неравенство, которое с помощью этого метода можно было бы доказать, удастся доказать и мне. А у Вас есть такая иллюзия?
Потом берёте следующий метод... и т.д.
Эти "методы", вообще говоря, ничего не доказывают, но Вы приобретёте опыт а там, глядишь, и изобретёте что-то новое.

[Sasha2]

А так правильно или нет?

$\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11 \Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11\]$
Складывая эти два неравенства, а также заменяя среднее геометрическое в числителе последней дроби на среднее гармоническое, получаем такое эквивалентное неравенство:
$\[\frac{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2}}}{{abc}} + \frac{{144abc}}{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2} + 3abc}} \ge 22\]$

Обозначив, через $x$ выражение $\[{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2}}\]$, получаем такую функцию $\[\frac{x}{{abc}} + \frac{{144abc}}{{x - 3abc}}\]$, с которой легко расправляемся на предмет поиска минимума. То есть легко находим и точку минимума и сам этот минимум.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #338661 писал(а):

А так правильно или нет?

$\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11 \Leftrightarrow \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} + \frac{{24\sqrt[3]{{abc}}}}{{a + b + c}} \ge 11\]$

Это, конечно, верно. Но пока они не доказаны, Ваша эквиваленция означает только, что они оба верны или оба неверны. Складывая же два неверных неравенства можно легко получить верное, что, может быть, Вы и сделали.
Например, $1+x\geq1$ и $1-x\geq1$ неверны, а после сложения получаем верное неравенство.
Кстати сказать, следующее более простое неравенство верно.
Пусть $a,$ $b$ и $c$ положительны. Докажите, что

$$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}+\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}+\frac{51\sqrt[3]{abc}}{a + b + c}\geq23$$

a $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}+\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}+\frac{54\sqrt[3]{abc}}{a + b + c}\geq24$ уже неверно.
И ещё кстати. Ваше неравенство

Sasha2 в сообщении #338661 писал(а):

$\[\frac{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2}}}{{abc}} + \frac{{144abc}}{{{a^2}b + a{b^2} + {a^2}c + a{c^2} + {b^2}c + b{c^2} + 3abc}} \ge 22\]$

неверно. Проверьте $a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 = 12abc$