Вычислить объем фигуры, с помощью двойного интеграла.

[Elarium]

Ребят, помогите с решением задачки. Нужно вычислить объем фигуры, ограниченной линиями $x^2 + y^2 = 2y$, $z = y$, $z = -2y$ с помощью двойного интеграла. Область интегрирования я уже нарисовал, получился усеченный сверху двумя плоскостями цилиндр. Проблема у меня с нахождением пределов интегрирования и самой подъинтегральной функции. Вероятно тут нужно к полярным координатам переходить, так как $R$ основания цилиндра нам известен и равен 1, я прав?

[gris]

Интеграл тройной лучше.
Ну или два двойных. По $y$ от края круга до другого края по вертикали, по $x$ от левой полуокружности до правой. А подынтегральные функции- $|z|$. Хотя два интеграла сложатся и останется один

[Elarium]

gris в сообщении #336295 писал(а):

Интеграл тройной лучше.
Ну или два двойных. По $y$ от края круга до другого края по вертикали, по $x$ от левой полуокружности до правой. А подынтегральные функции- $|z|$. Хотя два интеграла сложатся и останется один

Спасибо!

[ewert]

Elarium в сообщении #336289 писал(а):

Вероятно тут нужно к полярным координатам переходить

Совершенно верно, в полярных будет проще.

[Elarium]

Ещё такой вопрос... Перехожу в полярные координаты. Центр окружности сдвинут на единицу по оси $y$ так как $x^2+y^2=2y ~ x^2+(y-1)^2=1$ Правильно ли я понимаю, что при смещении нельзя брать приделы радиус-вектора $r \in\ [0,2]$ а нужно подставить в формулу $x^2+y^2=2y $x=r \cos(\varphi)$ и $y=r \sin(\varphi)$ откуда получаем $r=2\sin(\varphi)$

[ewert]

Правильно.