касательная к поверхности

[gris]

vvvv, Вы наверное шутите? Полное совпадение проходит, а незначительное пересечение нет?
В принципе, для гладких строго выпуклых поверхностей в трёхмерном пространстве имение ровно одной общей точки с плоскостью равносильно её касанию в общепринятом смысле.

А в двумерном случае - только одна касательная к кубической параболе пересекает её ровно в одной точке.

[ewert]

gris в сообщении #335641 писал(а):

для гладких выпуклых поверхностей

строго

[vvvv]

Если считать, что в т.А плоскость касается гиперболоида, то можно ее считать касательной (она проведена через касательные векторы в точке А), но это не то, что касательная плоскость, скажем, к эллипсоиду, которая никогда не пересекает эллипсоид.

[Padawan]

Касательная плоскость, по определению -- это плоскость, в которой лежат все касательные прямые к поверхности в данной точке.

[ewert]

Ну это смотря что считать определением (Ваш вариант, кстати, не устраняет т.наз. "проблем" с пересечениями). Вообще-то наиболее разумное (на мой взгляд, ессно) -- это что касательная есть "линейное" многообразие, приближающее поверхность с точностью до членов следующего порядка малости. Ибо это -- наиболее практично.

[Padawan]

Ну а моё (не моё, конечно ) определение наиболее логично -- касательная плоскость -- это плоскость образованная всеми касательными векторами.

[ewert]

А что есть "касательный вектор"?...

-- Ну вот видите -- чего ж и огород городить.

[vvvv]

Так все-таки, плоскость, изображенная на картинке - касательная к гиперболоиду или нет? (Повторяю, она проходит через два касательных
вектора к гиперболоиду в т. А)??

[Padawan]

ewert
А что есть поверхность?

[ewert]

Padawan в сообщении #335716 писал(а):

ewert
А что есть поверхность?

Эту тайну я унесу с собой в могилу.

Та тю.

[gris]

Я хотел было сказать про локальную дифференцируемость гиперболоида, как функции двух переменных в окрестности любой точки при надлежащем повороте. Про связь дифференциала и касательной плоскости, но потом решил промолчать.
У седла есть касательная плоскость и поверхность располагается с разных сторон от неё.

[ewert]

(Оффтоп)

Вы опять на флажке... Но я в Вас верю!

[terminator-II]

xeoni в сообщении #335485 писал(а):

Написать уpавнение касательной плоскости к повеpхности $x^2 + 2z^2-y^2 =1$ паpаллельной к плоскости $4x+2y-2z+3=0$

градиент линейно зависим с нормальным вектором плоскости:

$$2x=4t,\quad -2y=2t,\quad 4z=-2t$$

Подставляем отсюда $x,y,z$ в уравнение поверхности , находим $t$ которых может оказаться две штуки...