2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Взаимодействие заряженных частиц
Сообщение27.06.2010, 17:45 


23/04/10
31
Из этой темы у меня не получилась одна задача, а вторая вызывает сомнения в правильности решения.

Вторая (где прощу проверить правильность решения) :
Цитата:
Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно изменяют в $n$ раз, не изменяя направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся.


Решение:

Пусть расстояние между частицами $l$, и заряды $q$ и $-q$ соответственно. Тогда частицы будут двигаться вокруг общего центра масс по окружностям радиуса $ r_1 = \frac {lm} {M+m}$ и $ r_2 = \frac {lM} {M+m}$ и скоростями $v_1$ и $v_2$, связанными соотношением $mv_1=Mv_2$. По второму закону Ньютона $ \frac {kq^2} {r^2} = \frac {mv_1^2} {r_1}$, но так как $ r_1 = \frac {lm} {M+m}$, то следовательно $ \frac {kq^2} {r} = \frac {m(m+M)v_1^2} {M}$. После того как скорость первой частицы увеличили в $n$, то частицы даже при наименьшем $n$ будут двигаться с некоторой скоростью $v_3$.
Из закона сохранения импульса следует, что $mv_1n-mv_1=mv_1(n-1)=(M+m)v_3$
Из закона сохранения энергии следует, что $ -\frac {kq^2} {r} + \frac {mn^2v_1^2} {2} + \frac {Mv_2^2} {2} = \frac {(m+M)v_3^2} {2}$. Если подставить в это уравнение $\frac {kq^2} {r}$, $v_2$, $v_3$, то получится квадратное уравнение относительно n, ($n^2+\frac {2mn} {M}-(\frac {m} {M})^2-\frac {4m} {M}-2=0$), решая его получаем $n=\frac {m(\sqrt{2}-1)} {M}+\sqrt{2}$

Теперь первая (в которой требуется подсказка):
Цитата:
Расстояние между электроном и позитроном в позитронии $r$. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы позитроний распался.


Как и в предыдущей задаче я записал второй закон Ньютона $ \frac {kq^2} {r^2} = \frac {mv^2} {r/2}$ (так как массы равны, а следовательно частицы движутся по окружности радиуса $\frac {r} {2}$), $ \frac {kq^2} {r} = \frac {mv^2} {2}$. Также понятно, что как и в предыдущей задаче условием минимальности есть их нулевая относительная скорость, то есть на очень большом расстоянии они будут обладать какой-то скоростью $u$. Дальше я пытался записать закон сохранения энергии для этой системы, по-моему он выглядит так:
$ -\frac {kq^2} {r} + \frac {mv^2} {2} + \frac {mv^2} {2}+\Delta W = \frac {2mu^2} {2}$, где $\Delta W$ и есть та самая добавленная энергия. Дальше решение не получается, так как я не понимаю как связать $\Delta W$ с $u$. Но по-моему я еще к тому же не правильно записал закон сохранения энергии, так как не совсем понимаю, как именно ему сообщили эту энергию.

Прошу помочь разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимодействие заряженных частиц
Сообщение27.06.2010, 17:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Teplorod в сообщении #335660 писал(а):
Как и в предыдущей задаче я записал второй закон Ньютона $ \frac {kq^2} {r^2} = \frac {mv^2} {r/2}$

Замечательно. Теперь выпишите отсюда суммарную кинетическую энергию. И прибавьте к ней потенциальную (она отрицательна). Получите отрицательную полную энергию. Вот минус её и нужно добавить, ибо частицы разлетаются на бесконечность тогда и только тогда, когда полная энергия неотрицательна.

Только учтите, что это --
Teplorod в сообщении #335660 писал(а):
$ \frac {kq^2} {r} = \frac {mv^2} {2}$
-- неправда (двойка не так вставлена).

Примерно то же самое и во второй задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимодействие заряженных частиц
Сообщение27.06.2010, 18:12 


23/04/10
31
Цитата:
Только учтите, что это --
Teplorod в сообщении #335660 писал(а):

-- неправда (двойка не так вставлена).

Примерно то же самое и во второй задаче.


Извиняюсь, опечатался.

Цитата:
Замечательно. Теперь выпишите отсюда суммарную кинетическую энергию. И прибавьте к ней потенциальную (она отрицательна). Получите отрицательную полную энергию. Вот минус её и нужно добавить, ибо частицы разлетаются на бесконечность тогда и только тогда, когда полная энергия неотрицательна.


Тогда получается , что $\Delta W = \frac {kq^2} {2r}$, но в ответе задачника $\Delta W = \frac {kq^2(2-\sqrt{2})} {r}$

А решение второй задачи, которая написана первой ( :-) ) правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Взаимодействие заряженных частиц
Сообщение27.06.2010, 19:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Teplorod в сообщении #335665 писал(а):
Тогда получается , что $\Delta W = \frac {kq^2} {2r}$, но в ответе задачника $\Delta W = \frac {kq^2(2-\sqrt{2})} {r}$

Упс, пардон, зазивалси. Не сообразил почему-то, что надо ещё исключить движение центра масс, возникающее, если толкнуть только одну частицу.

Допустим, мы увеличиваем скорость этой частицы в $\alpha$ раз (в том же направлении -- достаточно понятно, что этот вариант оптимален). Тогда относительно центра масс её скорость увеличивается всего лишь в $\dfrac{1+\alpha}{2}$ раз, и во столько же раз -- скорость альтернативной частицы. Кинетическая энергия (относительно центра масс) при этом должна увеличиться вдвое, т.е. должно оказаться $\left(\dfrac{1+\alpha}{2}\right)^2=2$, или $\alpha=2\sqrt2-1$, или $\alpha^2-1=8-4\sqrt2$. Т.е. приращение кинетической энергии той первой частицы должно быть в $(8-4\sqrt2)$ раз больше, чем её исходная кинетическая энергия (в исходной системе отсчёта). Т.е. в $(2-\sqrt2)$ раз больше, чем потенциальная (по модулю), поскольку изначально та кинетическая энергия составляла четверть потенциальной.

Насчёт другой задачи -- в детали не вникал, но у Вас там, по-моему, некоторая путаница между эр и эль, и, по-моему, так и не скомпенсированная дальнейшими очепятками. Во всяком случае, там тоже надо учитывать движение центра масс, возникающее после ихнего скачка. Лень. Как это масса может измениться, да ещё скачком?... (шутю)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group