Взаимодействие заряженных частиц

[Teplorod]

Из этой темы у меня не получилась одна задача, а вторая вызывает сомнения в правильности решения.

Вторая (где прощу проверить правильность решения) :

Цитата:

Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно изменяют в $n$ раз, не изменяя направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся.

Решение:

Пусть расстояние между частицами $l$, и заряды $q$ и $-q$ соответственно. Тогда частицы будут двигаться вокруг общего центра масс по окружностям радиуса $ r_1 = \frac {lm} {M+m}$ и $ r_2 = \frac {lM} {M+m}$ и скоростями $v_1$ и $v_2$, связанными соотношением $mv_1=Mv_2$. По второму закону Ньютона $ \frac {kq^2} {r^2} = \frac {mv_1^2} {r_1}$, но так как $ r_1 = \frac {lm} {M+m}$, то следовательно $ \frac {kq^2} {r} = \frac {m(m+M)v_1^2} {M}$. После того как скорость первой частицы увеличили в $n$, то частицы даже при наименьшем $n$ будут двигаться с некоторой скоростью $v_3$.
Из закона сохранения импульса следует, что $mv_1n-mv_1=mv_1(n-1)=(M+m)v_3$
Из закона сохранения энергии следует, что $ -\frac {kq^2} {r} + \frac {mn^2v_1^2} {2} + \frac {Mv_2^2} {2} = \frac {(m+M)v_3^2} {2}$. Если подставить в это уравнение $\frac {kq^2} {r}$, $v_2$, $v_3$, то получится квадратное уравнение относительно n, ($n^2+\frac {2mn} {M}-(\frac {m} {M})^2-\frac {4m} {M}-2=0$), решая его получаем $n=\frac {m(\sqrt{2}-1)} {M}+\sqrt{2}$

Теперь первая (в которой требуется подсказка):

Цитата:

Расстояние между электроном и позитроном в позитронии $r$. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону, чтобы позитроний распался.

Как и в предыдущей задаче я записал второй закон Ньютона $ \frac {kq^2} {r^2} = \frac {mv^2} {r/2}$ (так как массы равны, а следовательно частицы движутся по окружности радиуса $\frac {r} {2}$), $ \frac {kq^2} {r} = \frac {mv^2} {2}$. Также понятно, что как и в предыдущей задаче условием минимальности есть их нулевая относительная скорость, то есть на очень большом расстоянии они будут обладать какой-то скоростью $u$. Дальше я пытался записать закон сохранения энергии для этой системы, по-моему он выглядит так:
$ -\frac {kq^2} {r} + \frac {mv^2} {2} + \frac {mv^2} {2}+\Delta W = \frac {2mu^2} {2}$, где $\Delta W$ и есть та самая добавленная энергия. Дальше решение не получается, так как я не понимаю как связать $\Delta W$ с $u$. Но по-моему я еще к тому же не правильно записал закон сохранения энергии, так как не совсем понимаю, как именно ему сообщили эту энергию.

Прошу помочь разобраться.

[ewert]

Teplorod в сообщении #335660 писал(а):

Как и в предыдущей задаче я записал второй закон Ньютона $ \frac {kq^2} {r^2} = \frac {mv^2} {r/2}$

Замечательно. Теперь выпишите отсюда суммарную кинетическую энергию. И прибавьте к ней потенциальную (она отрицательна). Получите отрицательную полную энергию. Вот минус её и нужно добавить, ибо частицы разлетаются на бесконечность тогда и только тогда, когда полная энергия неотрицательна.

Только учтите, что это --

Teplorod в сообщении #335660 писал(а):

$ \frac {kq^2} {r} = \frac {mv^2} {2}$

-- неправда (двойка не так вставлена).

Примерно то же самое и во второй задаче.

[Teplorod]

Цитата:

Только учтите, что это --
Teplorod в сообщении #335660 писал(а):

-- неправда (двойка не так вставлена).

Примерно то же самое и во второй задаче.

Извиняюсь, опечатался.

Цитата:

Замечательно. Теперь выпишите отсюда суммарную кинетическую энергию. И прибавьте к ней потенциальную (она отрицательна). Получите отрицательную полную энергию. Вот минус её и нужно добавить, ибо частицы разлетаются на бесконечность тогда и только тогда, когда полная энергия неотрицательна.

Тогда получается , что $\Delta W = \frac {kq^2} {2r}$, но в ответе задачника $\Delta W = \frac {kq^2(2-\sqrt{2})} {r}$

А решение второй задачи, которая написана первой ( ) правильно?

[ewert]

Teplorod в сообщении #335665 писал(а):

Тогда получается , что $\Delta W = \frac {kq^2} {2r}$, но в ответе задачника $\Delta W = \frac {kq^2(2-\sqrt{2})} {r}$

Упс, пардон, зазивалси. Не сообразил почему-то, что надо ещё исключить движение центра масс, возникающее, если толкнуть только одну частицу.

Допустим, мы увеличиваем скорость этой частицы в $\alpha$ раз (в том же направлении -- достаточно понятно, что этот вариант оптимален). Тогда относительно центра масс её скорость увеличивается всего лишь в $\dfrac{1+\alpha}{2}$ раз, и во столько же раз -- скорость альтернативной частицы. Кинетическая энергия (относительно центра масс) при этом должна увеличиться вдвое, т.е. должно оказаться $\left(\dfrac{1+\alpha}{2}\right)^2=2$, или $\alpha=2\sqrt2-1$, или $\alpha^2-1=8-4\sqrt2$. Т.е. приращение кинетической энергии той первой частицы должно быть в $(8-4\sqrt2)$ раз больше, чем её исходная кинетическая энергия (в исходной системе отсчёта). Т.е. в $(2-\sqrt2)$ раз больше, чем потенциальная (по модулю), поскольку изначально та кинетическая энергия составляла четверть потенциальной.

Насчёт другой задачи -- в детали не вникал, но у Вас там, по-моему, некоторая путаница между эр и эль, и, по-моему, так и не скомпенсированная дальнейшими очепятками. Во всяком случае, там тоже надо учитывать движение центра масс, возникающее после ихнего скачка. Лень. Как это масса может измениться, да ещё скачком?... (шутю)