Метод Бубнова-Галеркина.

[lioness]

Здравствуйте, у меня возникли некоторые затруднения, была бы очень благодарна, если бы нашлись люди, разбирающиеся в этом вопросе.
Дело в том, что у меня есть дифференциальные уравнения цилиндрической оболочки, которые были рассмотрены у Хегемайера и эти уравнения мне необходимо свести к диф.уравнениям второго порядка с помощью метода Бубнова-Галеркина. Сводятся они не сложно просто нужно взять в качестве прогиба ту или иную функцию и посчитать все производные. Но у меня как раз возникла проблема с выбором функции прогиба.

Я пробовала брать следующие функции, но у меня получилось уравнение которое мне не подходит так как функция "фи" в знаменателе

Так же пробовала брать только функцию прогиба а в качестве функции напряжения использовать выражения Nx, Ny, Nxy представленные на первом рисунке, но в этом случае у меня возникает проблема в том что в левой части уравнения стоят синусы а в правой косинусы...
Вообщем, я немножко запуталась, если кто подскажет как выйти из этой ситуации я буду очень благодарна.

[Velikan39]

$\nabla^4=\left(\frac{\partial w^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial w^2}{\partial \theta^2}\right)\left(\frac{\partial w^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial w^2}{\partial \theta^2}\right)$

Пересчитайте еще производные $f_{,x\theta}$ и $w_{,x\theta}$ .
Как у вас получилось $\varphi$ в знаменатели - непонятно.

[lioness]

Velikan39 в сообщении #335044 писал(а):

$\nabla^4=\left(\frac{\partial w^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial w^2}{\partial \theta^2}\right)\left(\frac{\partial w^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial w^2}{\partial \theta^2}\right)$

Пересчитайте еще производные $f_{,x\theta}$ и $w_{,x\theta}$ .
Как у вас получилось $\varphi$ в знаменатели - непонятно.

Просто в книжке было написано что $\nabla^4=\left(\frac{\partial w^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial w^2}{\partial \theta^2}\right)\left$
и если по этой формуле раскладывать получалось так =)
Но я сейчас обязательно пересчитаю, может действительно так проблем не возникнет, спасибо заранее за идею...
а на счет функции прогиба ту которую я использовала можно использовать?

[lioness]

И все равно у меня не получилось, видимо я что-то не так делаю
Вот я высчитываю производные

Затем эти производные подставляю в систему (1)






-- Пт июн 25, 2010 20:25:17 --

или как сделала последний раз подставила в систему







Вообщем в обоих случаях что-то не то...

[Zai]

Попробуйте порешать данную задачу, когда производные по углу равны нулю. Уравненение для прогиба должно иметь вид:
$EI\frac {\partial^4 w} {\partial x^4}+Eh\frac w R +\rho h\frac {\partial^2 w} {\partial t^2}=q$

[lioness]

Zai, дело в том что с таким примером почему-то проблем не возникает, я делала аналогичный про стержень Эйлера
$\frac {\partial ^4W} {\partial x^4}+\lambda \frac {\partial ^2W} {\partial x^2}+\frac {\partial ^2W} {\partial t^2}=0$
В качестве прогиба брала (кстати про функцию прогиба подсказали мне именно вы, за что вам отдельное спасибо )
$w(x,t)=f(t) \sin \pi n x $
В результате вычисления производных у меня получилось
$f
в этом примере, который вы предложили видимо будет аналогично, ну за исключением слагаемого в правой части. А вот что делать для цилиндрической оболочки, чтобы у меня не возникало таких курьезов со знаменателем ума не приложу...

[Zai]

Очень хорошо что Вы для нулевой гармоники по углу решили задачу. Следующее приближение пусть у Вас по углу искомые функции зависят от первой гармоники $\sin \theta$. Когда начинаете работать с уравнениями необходимо проверять уравнения на опечатки, а еще лучше их выводить самостоятельно. То что Вы цитировали на форуме содержит опечатки и поэтому у Вас что-то не получается.

[Velikan39]

Если вашей целью являются только функции $\varphi (t)$ и $\psi (t)$ (или диф уравнения с ними), а не $w(t,x,\theta)$ и $f(t,x,\theta)$, то можно использовать следующее:

$$w(t,x,\theta)=\varphi (t) e^{i\frac{2m \pi x}{l}}e^{i\frac{2m \pi \theta}{l}}$$

$$f(t,x,\theta)=\psi (t) e^{i\frac{2n \pi x}{l}}e^{i\frac{2m \pi \theta}{l}}$$

где $i^2=-1$ или $i=\sqrt{-1}$.
но скорее всего множитель $\[\left( {1 + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {\theta ^2}}}} \right)\]$ вам все равно все испортит.
Немного не понятно выразился выше: $\nabla^4=\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {\theta ^2}}}} \right)\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {\theta ^2}}}} \right)=\[\left( {\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {\theta ^4}}} + \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {\theta ^2}\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {\theta ^4}}}} \right)\]$

[lioness]

Zai, спасибо за подсказку, постараюсь сама по возможности выводить формулы...
Velikan39, на счет оператора согласна с вами, действительно опечатка в книжке...
$\nabla^4=\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {\theta ^2}}}} \right)\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {\theta ^2}}}} \right)=\[\left( {\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {\theta ^4}}} +2 \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {\theta ^2}\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {\theta ^4}}}} \right)\]$[/quote]
Но к сожалению это все же не особенно повлияло на вывод, функция "фи" все равно у меня не такая как нужно, но я думаю завтра схожу к научному руководителю может он мне что-нибудь подскажет где я могла еще напортачить...но благодаря вашим подсказкам я все же решила другую задачку, чуть упрощенную...но может она тоже подойдет...вообщем завтра видно будет...
Большое вам спасибо...

[lioness]

Здравствуйте,
у меня опять возник вопрос по аналогичной задаче, но она попроще предыдущей.
Вот я рассмотрела задачку цилиндрической оболочки под действием внешнего давления.
Нашла все производные, и подставила их в исходное уравнение, далее из второго уравнения выразила функцию "пси" и подставила в первое. В итоге получила уравнение.





А вот что теперь делать? По идее нужно брать интеграл от этой функции домноженной на $sin(mx/R)*sin(ny/R)$ или я ошибаюсь?

[Zai]

Перед квадратными скобками у Вас должны быть две суммы по всем n и m. Разложите по ним исходное распределение давления, введите его под суммы и Вы получите системы уравнений для коэффициентов по времени.

[lioness]

На счет сумм я согласна, а вот на счет остального не уверена что поняла. Что и как разложить? Как ряд Тейлора? И какие функции, $sin$ ?
Просто в методе Бубнова-Галеркина сказано, что нужно домножать на функцию и интегрировать, а на счет ряда это Ритц или еще что-то?
А вообще у меня задача применить метод Бубнова-Галеркина, т.е. как раз с интегралом...
Но я попробую и так как вы советуете, вдруг что получиться...

[Velikan39]

В ряд Фурье по синусам (как для нечетной функции).

[Zai]

Цитата:

...это Ритц или еще что-то...

В методе Бубнова-Галеркина функции, относительно которых вы раскладываете в ряды, неортогональны. Поэтому в правых частях уравнений будут наблюдаться перекрестные члены. Пока Вы используете ортогональный базис функций, Ваши уравнения не будет отличаться ничем от уравнений, полученных методом разделения перемнных, который вполне применим к последней приведенной Вами постановке задачи.

[lioness]

Velikan39 в сообщении #336443 писал(а):

В ряд Фурье по синусам (как для нечетной функции).

Ух ты...да давно я уже не раскладывала функцию в ряд Фурье, ну ладно попробую вспомнить, как это делается Хотя помнится мне это занятие не из приятных (но это было 4 года назад, может сейчас и не покажется так уж трагично все... )

Zai, на счет ортогональности я читала, что нужно чтобы это свойство было выполнено...а вот что-то по разложению из книжки не поняла, но теперь уж буду осваивать технику рядов Фурье

Спасибо за совет!