категории Бэра

[Padawan]

Т.е. семейство $K$ равномерно ограничено на любом конечном множестве. Понял. Про остальное завтра подумаю, а то поздно уже.

А про направленности -- в линейных топологических пространствах тоже нельзя подпоследовательность выделить. Секвенциальное замыкание не всегда совпадает с замыканием.

[id]

Цитата:

По теореме Бэра $X_0$ всюду плотно в $X$, поэтому $\overline O_m\supset\overline X_0=X$. Таким образом, $\overline O_m=X$, и $O_m$ -- открытое всюду плотное в $X$ множество.
Тогда $H_m=X_0\cap O_m\supset\bigcap\limits_{n=1}^\infty G_n\cap O_m$ -- котощее множество в $X$. Тогда и $X_1\supset\bigcap\limits_{m=1}^\infty H_m$ -- котощее в $X$.

А здесь т-ма Бэра по существу используется или без нее можно обойтись? Почему-то кажется, что можно.
Ведь $O_n = \mathrm{Cl} \ O_n \setminus \mathrm{Fr} \ O_n$, причем $X \setminus \mathrm{Fr} \ O_n$ - открытое всюду плотное множество (ибо $O_n$ открыто).

[Padawan]

Точно, полнота и теорема Бэра не нужны. Можно заменить $O_m$ на $U_m=X\setminus \mathrm{Fr} \ O_m$, от этого $H_m$ не изменится:

$$H_m=X_0\cap O_m=X_0\cap \overline O_m\setminus\mathrm{Fr} \ O_m=X_0\setminus\mathrm{Fr} \ O_m=X_0\cap(X\setminus\mathrm{Fr} \ O_m)=X_0\cap U_m$$

Дальше по доказательству. Красота

[Padawan]

Это всё дело можно проще доказать. Достаточно проверить, что если $B\subset A\subset X$, и $B$ -- тощее в $A$, то $B$ тощее в $X$.

В стартовом сообщении $X_1\subset X_0\subset X$. Тогда $X\setminus X_1=(X\setminus X_0)\cup (X_0\setminus X_1)$. По условию $X\setminus X_0$ -- тощее в $X$, и $X_0\setminus X_1$ -- тощее в $X_0$, а значит, и в $X$. Объединение двух тощих -- тощее, значит, $X_1$ -- котощее в $X$.

Проверка исходного утверждения. $B\subset\bigcup_{n=1}^\infty F_n$, где $F_n$ -- замкнутые подмножества $A$ без внутренних точек. Тогда $F_n=A\cap P_n$, где $P_n$ -- замкнутые в $X$ и $A\cap \mathrm {Int} \ P_n=\varnothing$. Положим $Q_n=P_n\setminus\mathrm{Int} \ P_n$. Тогда $Q_n$ -- замкнутые без внутренних точек в $X$, и $F_n=A\cap Q_n$. Значит, $B\subset \bigcup_{n=1}^\infty A\cap Q_n\subset \bigcup_{n=1}^\infty Q_n$ -- тощее в $X$.

По сути всё тоже самое, но нагляднее по-моему. Переход к дополнениям всегда запутывает. Привычнее про тощие множества и про множества меры нуль рассуждать.

Вообще, эти выкладки самые что ни на есть общетопологические. Только самые основные топологические понятия используются.