2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 20:48 


12/06/10
18
Москва
Помогите пожалуйста с следующей задачей разобраться:
Исследовать на сходимость числовой ряд $\[\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{n-{\sqrt[3]{n}}} {{{n^3}+n}}\]$ с положительными членами.

Если написано, что члены положительные - ряд знакопостоянный. Можно ли данный ряд сравнивать с гармоническим рядом ($\frac 1 {n^3}$) по признаку сравнения? Или лучше использовать предельную форму признака сравнения?

Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Karmi в сообщении #335176 писал(а):
Если написано, что члены положительные - ряд знакопостоянный.
Скорее, он знакопостоянный, потому что его члены действительно положительны, а не потому что так написано :)
Karmi в сообщении #335176 писал(а):
Можно ли данный ряд сравнивать с гармоническим рядом ($\frac{1}{n^3}$) по признаку сравнения?
Можно, но ничего не получится, потому как он больше $\frac{1}{n^3}$.
Karmi в сообщении #335176 писал(а):
Или лучше использовать предельную форму признака сравнения?
Лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 21:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Karmi в сообщении #335176 писал(а):
Можно ли данный ряд сравнивать с гармоническим рядом ($\frac 1 {n^3}$)

Нельзя. Есть в математике такая старая, добрая традиция -- называть гармоническим рядом только составленный из минус первых степеней.

Мелочь, казалось бы. Однако вот из таких вот мелочей и складываются путаницы в мозгах. Вот как у Вас. Начали вроде как бы всего лишь с неправильной терминологии, а закончили...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 21:35 


12/06/10
18
Москва
Цитата:
называть гармоническим рядом только составленный из минус первых степеней

ewert $\frac 1 {n^a}$ - обобщенный гармонический ряд. Там степень может быть не только минус первая... Нет?

-- Пт июн 25, 2010 22:52:36 --

Простите, так и не нашла как убрать n-> к бесконечности под знак предела.
$\lim_{\limits_{n->infty}} {\frac{n-{\sqrt[3]{n}}} {{n^3}+n} = 0$
=> Выполняется необходимый признак сходимости. Ряд сходится. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:02 


25/06/10

3
да сходится, тк каждый член меньше $\frac 1 {n^3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Karmi в сообщении #335194 писал(а):
=> Выполняется необходимый признак сходимости. Ряд сходится. Верно?
Неверно. Почему необходимый признак сходимости называется необходимым?

-- Пт июн 25, 2010 22:12:27 --

Rael в сообщении #335214 писал(а):
каждый член меньше $\frac 1 {n^3}$
Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:17 


25/06/10

3
Цитата:
Нет.
Да

-- Пт июн 25, 2010 23:21:17 --

Вы что, не видите этого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Вы, наверное, хотели сказать $1\over n^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:23 


25/06/10

3
ой точно! :oops: :oops: :oops: Но тот тоже сходиться

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:24 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Rael в сообщении #335214 писал(а):
да сходится, тк каждый член меньше $\frac 1 {n^3}$

да нет конешно хоть это и не важно просто зевок. Воть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:36 


12/06/10
18
Москва
Xaositect Черт! Необходимый!=достаточный =(
Если использовать признак Коши - то там корни будут страшные. Если по Даламберу - то тоже кажется не очень хорошо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Karmi в сообщении #335232 писал(а):
Если использовать признак Коши - то там корни будут страшные. Если по Даламберу - то тоже кажется не очень хорошо...
Вы же сами говорили про предельную форму признака сравнения. $\frac{n-\sqrt[3]n}{n^3 + n}\sim \frac{1}{n^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование ряда на сходимость
Сообщение25.06.2010, 23:06 


12/06/10
18
Москва
Ряд сходится, т.к. предел частного от n-го члена первого и второго ряда равен единице.

Спасибо большое за помощь и разъяснения. Вроде поняла.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group