Исследование ряда на сходимость

[Karmi]

Помогите пожалуйста с следующей задачей разобраться:
Исследовать на сходимость числовой ряд $\[\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{n-{\sqrt[3]{n}}} {{{n^3}+n}}\]$ с положительными членами.

Если написано, что члены положительные - ряд знакопостоянный. Можно ли данный ряд сравнивать с гармоническим рядом ($\frac 1 {n^3}$) по признаку сравнения? Или лучше использовать предельную форму признака сравнения?

Заранее спасибо.

[Xaositect]

Karmi в сообщении #335176 писал(а):

Если написано, что члены положительные - ряд знакопостоянный.

Скорее, он знакопостоянный, потому что его члены действительно положительны, а не потому что так написано :)

Karmi в сообщении #335176 писал(а):

Можно ли данный ряд сравнивать с гармоническим рядом ($\frac{1}{n^3}$) по признаку сравнения?

Можно, но ничего не получится, потому как он больше $\frac{1}{n^3}$.

Karmi в сообщении #335176 писал(а):

Или лучше использовать предельную форму признака сравнения?

Лучше.

[ewert]

Karmi в сообщении #335176 писал(а):

Можно ли данный ряд сравнивать с гармоническим рядом ($\frac 1 {n^3}$)

Нельзя. Есть в математике такая старая, добрая традиция -- называть гармоническим рядом только составленный из минус первых степеней.

Мелочь, казалось бы. Однако вот из таких вот мелочей и складываются путаницы в мозгах. Вот как у Вас. Начали вроде как бы всего лишь с неправильной терминологии, а закончили...

[Karmi]

Цитата:

называть гармоническим рядом только составленный из минус первых степеней

ewert $\frac 1 {n^a}$ - обобщенный гармонический ряд. Там степень может быть не только минус первая... Нет?

-- Пт июн 25, 2010 22:52:36 --

Простите, так и не нашла как убрать n-> к бесконечности под знак предела.
$\lim_{\limits_{n->infty}} {\frac{n-{\sqrt[3]{n}}} {{n^3}+n} = 0$
=> Выполняется необходимый признак сходимости. Ряд сходится. Верно?

[Rael]

да сходится, тк каждый член меньше $\frac 1 {n^3}$

[Xaositect]

Karmi в сообщении #335194 писал(а):

=> Выполняется необходимый признак сходимости. Ряд сходится. Верно?

Неверно. Почему необходимый признак сходимости называется необходимым?

-- Пт июн 25, 2010 22:12:27 --

Rael в сообщении #335214 писал(а):

каждый член меньше $\frac 1 {n^3}$

Нет.

[Rael]

Цитата:

Нет.

Да

-- Пт июн 25, 2010 23:21:17 --

Вы что, не видите этого?

[ИСН]

Вы, наверное, хотели сказать $1\over n^2$.

[Rael]

ой точно! Но тот тоже сходиться

[ewert]

Rael в сообщении #335214 писал(а):

да сходится, тк каждый член меньше $\frac 1 {n^3}$

да нет конешно хоть это и не важно просто зевок. Воть.

[Karmi]

Xaositect Черт! Необходимый!=достаточный =(
Если использовать признак Коши - то там корни будут страшные. Если по Даламберу - то тоже кажется не очень хорошо...

[Xaositect]

Karmi в сообщении #335232 писал(а):

Если использовать признак Коши - то там корни будут страшные. Если по Даламберу - то тоже кажется не очень хорошо...

Вы же сами говорили про предельную форму признака сравнения. $\frac{n-\sqrt[3]n}{n^3 + n}\sim \frac{1}{n^2}$

[Karmi]

Ряд сходится, т.к. предел частного от n-го члена первого и второго ряда равен единице.

Спасибо большое за помощь и разъяснения. Вроде поняла.